Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)^[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlichen Atomen (mit Valenzelektron in der s-Schale)^[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $ B\approx 0{,}05\,\mathrm {T} $ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $ I $ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $ m_{F} $, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $ J={\frac {1}{2}} $. Sie lautet:^[3]

$ {W_{I\pm {\frac {1}{2}},m_{F}}=-{\frac {A}{2(2I+1)}}+g_{I}m_{F}\mu _{\mathrm {K} }B\pm {\frac {A}{2}}{\sqrt {1+{\frac {4m_{F}\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)B}{(2I+1)A}}+\left({\frac {\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)B}{A}}\right)^{2}}}} $

Dabei ist $ A $ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, $ \mu _{\mathrm {B} } $ das Bohrsche und $ \mu _{\mathrm {K} } $ das Kernmagneton. $ g_{J} $ und $ g_{I} $ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $ J $ bzw. Kernspins $ I $.

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten Plancksches Wirkungsquantum $ \hbar $ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin $ I={\frac {\left|{\vec {I}}\right|}{\hbar }}={\frac {1}{2}} $. Das einzige Elektron hat im Grundzustand ($ l=0 $) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls $ J={\frac {\left|{\vec {J}}\right|}{\hbar }}={\frac {1}{2}} $ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls $ {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}} $. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $ J $ und $ I $ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:^[4]

$ {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}+\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }{\frac {J_{z}}{\hbar }}-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }{\frac {I_{z}}{\hbar }}\right)B $

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $ |JIFm_{F}\rangle $ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses $ {\vec {F}} $ auf die Richtung des Magnetfeldes $ m_{F}=m_{J}+m_{I} $ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

$ A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}={\frac {A}{2}}\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right) $

Die $ z $-Komponenten $ I_{z} $ und $ J_{z} $ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $ (F|m_{F}) $ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $ m_{F}=0 $, die mischen.

$ {\frac {\langle JIF'm_{F}'|J_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{matrix}\\\hline \left(0|0\right)\\\left(1|-1\right)\\\left(1|0\right)\\\left(1|1\right)\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline 0&0&{\frac {1}{2}}&0\\0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\{\frac {1}{2}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\right)\right. $

Analog folgt für die $ z $-Komponente des Kernspins:

$ {\frac {\langle JIF'm_{F}'|I_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{matrix}\\\hline \left(0|0\right)\\\left(1|-1\right)\\\left(1|0\right)\\\left(1|1\right)\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline 0&0&-{\frac {1}{2}}&0\\0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\right)\right. $

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $ I=J={\frac {1}{2}} $ sowie $ g_{J}\approx 2 $ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:^[5]

$ {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=\left({\begin{matrix}\\\hline \left(0|0\right)\\\left(1|-1\right)\\\left(1|0\right)\\\left(1|1\right)\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline -{\frac {3A}{4}}&0&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0\\0&{\frac {A}{4}}-\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&0\\\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&{\frac {A}{4}}&0\\0&0&0&{\frac {A}{4}}+\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B\end{matrix}}\right)\right. $

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in $ \mu _{\mathrm {K} } $ für allgemeine Werte für $ I,F $ und $ m_{F} $ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

en:Zeeman effect#Intermediate field for j = 1/2