Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $ B\approx 0{,}05\,\mathrm {T} $ entkoppeln.
Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $ I $ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $ m_{F} $, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $ J={\frac {1}{2}} $. Sie lautet:[3]
Dabei ist $ A $ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, $ \mu _{\mathrm {B} } $ das Bohrsche und $ \mu _{\mathrm {K} } $ das Kernmagneton. $ g_{J} $ und $ g_{I} $ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $ J $ bzw. Kernspins $ I $.
Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten Plancksches Wirkungsquantum $ \hbar $ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin $ I={\frac {|{\vec {I}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}} $. Das einzige Elektron hat im Grundzustand ($ l=0 $) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls $ J={\frac {|{\vec {J}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}} $ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls $ {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}} $. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $ J $ und $ I $ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.
Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:[4]
Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $ |JIFm_{F}\rangle $ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses $ {\vec {F}} $ auf die Richtung des Magnetfeldes $ m_{F}=m_{J}+m_{I} $ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als
Die $ z $-Komponenten $ I_{z} $ und $ J_{z} $ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $ (F|m_{F}) $ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $ m_{F}=0 $, die mischen.
Analog folgt für die $ z $-Komponente des Kernspins:
Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $ I=J={\frac {1}{2}} $ sowie $ g_{J}\approx 2 $ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:[5]
Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in $ \mu _{\mathrm {K} } $ für allgemeine Werte für $ I,F $ und $ m_{F} $ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.
en:Zeeman effect#Intermediate field for j = 1/2