Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel^[1] (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse $ m_{0} $ zwischen einem bestimmten Zustand $ |m\rangle $ und allen anderen Zuständen $ |n\rangle $ gilt:

$ \sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left|\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle \right|^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}} $

$ \hbar $ … das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
$ E_{n} $ … die Energie des Zustands $ |n\rangle $

$ \left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle =x_{nm} $ … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

$ \sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left|\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle \right|^{2}=\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle $

$ ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle +\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {H}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {H}}\left|m\right\rangle \right) $

$ ={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right) $

$ ={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|[{\hat {x}},[{\hat {H}},{\hat {x}}]]\left|m\right\rangle \right)=-{\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left\langle m\right|[{\hat {x}},{\hat {p}}]\left|m\right\rangle ={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}} $

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

$ [{\hat {H}},{\hat {x}}]=-{\frac {i\hbar }{m_{0}}}{\hat {p}} $

$ [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar $

Literatur