Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

• Zustände sind nicht zeitabhängig: $|\psi ⟩=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$
• Operatoren sind zeitabhängig: $\hat{A}=\hat{A}(t)$
• Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung.

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $|{\psi }_{\mathrm{H}}⟩$ bzw. ${\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)$

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Heisenbergbild steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren, die Zustände sind zeitunabhängig:

$|{\psi }_{\text{H}}⟩=|{\psi }_{\text{S}}(0)⟩$

Im Schrödingerbild dagegen vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator $\hat{U}(t)$ die Zeitentwicklung der Zustände:

$|{\psi }_{\text{S}}(t)⟩=\hat{U}(t)|{\psi }_{\text{S}}(0)⟩$

Darin ist ${\hat{U}}^{†}(t)$ der adjungierte Operator, und wegen der Unitarität gilt ${\hat{U}}^{†}(t)=\hat{U}(t{)}^{-1}$.

Der Erwartungswert a des Operators $\hat{A}$ muss in allen Bildern gleich sein:

$a=⟨{\psi }_{\text{S}}(t)|{\hat{A}}_{\text{S}}(t)|{\psi }_{\text{S}}(t)⟩=⟨{\psi }_{\text{S}}(t)|\underset{1}{\underbrace{\hat{U}(t){\hat{U}}^{†}(t)}}{\hat{A}}_{\text{S}}(t)\underset{1}{\underbrace{\hat{U}(t){\hat{U}}^{†}(t)}}|{\psi }_{\text{S}}(t)⟩=⟨{\hat{U}}^{†}(t){\psi }_{\text{S}}(t)|{\hat{U}}^{†}(t){\hat{A}}_{\text{S}}(t)\hat{U}(t)|{\hat{U}}^{†}(t){\psi }_{\text{S}}(t)⟩$

$a=⟨{\psi }_{\text{S}}(0)|{\hat{U}}^{†}(t){\hat{A}}_{\text{S}}(t)\hat{U}(t)|{\psi }_{\text{S}}(0)⟩=⟨{\psi }_{\text{H}}|{\hat{A}}_{\text{H}}(t)|{\psi }_{\text{H}}⟩$

Der Operator ${\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)$ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator ${\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)$ im Schrödinger-Bild:

${\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)={\hat{U}}^{†}(t){\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)\hat{U}(t)$

Im Allgemeinen der Operator $\hat{A}$ sowohl im Heisenberg-Bild als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)=\frac{\partial }{\partial t}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)+\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)\text{,}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)]$

wobei

• $[{\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t),{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)]$ der Kommutator aus dem Hamilton-Operator ${\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)$ und ${\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)$ ist und
• $\frac{\partial }{\partial t}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)$ als Abkürzung für $U^{†}(t)\frac{\partial }{\partial t}{\hat{A}}_{\mathrm{S}}(t)U(t)$ zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild ${\hat{H}}_{\mathrm{S}}$ nicht von der Zeit ab, so gilt:

${\hat{H}}_{\mathrm{H}}(t)={\hat{H}}_{\mathrm{S}}$

Die Observable $\hat{A}$ heißt Erhaltungsgröße, wenn

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\hat{A}}_{\mathrm{H}}(t)=0$.

Gilt diese Bedingung, dann ist auch $⟨A⟩$ zeitunabhängig.