Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

• Zustände sind nicht zeitabhängig: $ |\psi \rangle ={\rm {const}} $
• Operatoren sind zeitabhängig: $ {\hat {A}}={\hat {A}}(t) $
• Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung.

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $ |\psi _{\rm {H}}\rangle $ bzw. $ {\hat {A}}_{\rm {H}}(t) $

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet. Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Heisenbergbild steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren, die Zustände sind zeitunabhängig:

$ |\psi _{\text{H}}\rangle =|\psi _{\text{S}}(0)\rangle $

Im Schrödingerbild dagegen vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator $ {\hat {U}}(t) $ die Zeitentwicklung der Zustände:

$ |\psi _{\text{S}}(t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle $

Darin ist $ {\hat {U}}^{\dagger }(t) $ der adjungierte Operator, und wegen der Unitarität gilt $ {\hat {U}}^{\dagger }(t)={\hat {U}}(t)^{-1} $.

Der Erwartungswert a des Operators $ {\hat {A}} $ muss in allen Bildern gleich sein:

$ a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|{\hat {A}}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace {{\hat {U}}(t){\hat {U}}^{\dagger }(t)} _{1}\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,\underbrace {{\hat {U}}(t){\hat {U}}^{\dagger }(t)} _{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle {\hat {U}}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}(t)\,|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)\rangle $

$ a=\langle \psi _{\text{S}}(0)|{\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\langle \psi _{\text{H}}|{\hat {A}}_{\text{H}}(t)|\psi _{\text{H}}\rangle $

Der Operator $ {\hat {A}}_{\rm {H}}(t) $ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator $ {\hat {A}}_{\rm {S}}(t) $ im Schrödinger-Bild:

$ {\hat {A}}_{\rm {H}}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t)\,{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)\,{\hat {U}}(t) $

Im Allgemeinen der Operator $ {\hat {A}} $ sowohl im Heisenberg-Bild als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)={\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)+{i \over \hbar }[{\hat {H}}_{\rm {H}}(t){\mbox{,}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)] $

wobei

• $ \left[{\hat {H}}_{\rm {H}}(t),{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)\right] $ der Kommutator aus dem Hamilton-Operator $ {\hat {H}}_{\rm {H}}(t) $ und $ {\hat {A}}_{\rm {H}}(t) $ ist und
• $ {\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t) $ als Abkürzung für $ U^{\dagger }(t){\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{\rm {S}}(t)U(t) $ zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild $ {\hat {H}}_{\rm {S}} $ nicht von der Zeit ab, so gilt:

$ {\hat {H}}_{\rm {H}}(t)={\hat {H}}_{\rm {S}} $

Die Observable $ {\hat {A}} $ heißt Erhaltungsgröße, wenn

$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}_{\rm {H}}(t)=0 $.

Gilt diese Bedingung, dann ist auch $ \langle A\rangle $ zeitunabhängig.