Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik, nach Werner Heisenberg, ist neben dem Schrödinger- und dem Dirac-Bild eine der grundlegenden Formulierungen für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen in der Quantenmechanik. Im Gegensatz zum öfter verwendeten Schrödinger-Bild steckt im Heisenberg-Bild die Zeitabhängigkeit nicht in den Zuständen
Zur Unterscheidung der verschiedenen Bilder der Quantenmechanik werden Größen im Heisenberg-Bild mit einem Index
Ein quantenmechanisches System wird durch seinen Zustandsvektor
Alle messbaren physikalischen Größen basieren daher auf Eigenwerten von Operatoren und Skalarprodukten von Zuständen. Jede auf die Zustände und Operatoren simultan angewandte Transformation, die diese Größen unverändert lässt, verändert nur die mathematische Darstellung der Physik, aber nicht die physikalsiche Wirklichkeit. Transformationen, die dies leisten, heißen unitäre Transformationen
Im Schrödinger-Bild der Quantenmechanik gehorchen Zustände der Schrödingergleichung
mit dem Hamiltonoperator
mit einem frei wählbaren Zeitpunkt
der unitäre Zeitentwicklungsoperator ist. Für den Erwartungswert eines Operators
Man definiert nun:
Die Bewegungsgleichungen für Zustände im Heisenberg-Bild ist trivial:
Diese Eigenschaft folgt aus der Definition des Heisenberg-Bildes.
Die Operatoren folgen der heisenbergschen Bewegungsgleichung
Die heisenbergsche Bewegungsgleichung ist äquivalent zur Schrödingergleichung im Schrödinger-Bild und kann direkt aus dieser hergeleitet werden (zur Vereinfachung der Notation werden die Argumente des Zeitentwicklungsoperators unterdrückt):
Da im Schrödinger-Bild die Operatoren nur explizit von der Zeit abhängen können, vereinfacht sich im zweiten Term die totale Zeitableitung zu einer partiellen. Die totale Zeitableitung des Zeitentwicklungsoperators folgt aus der obigen Definition als Lösung der Schrödingergleichung
Aus der Forminvarianz des Kommutators und der Definition der Operatoren im Heisenberg-Bild folgt die Heisenberg-Gleichung.
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator, der im Heisenberg-Bild mit dem Hamiltonoperator kommutiert, korrespondiert zu einer Erhaltungsgröße, denn dann gilt:
Entsprechend ändern sich auch seine Eigenwerte mit der Zeit nicht und da die Zustände im Heisenberg-Bild generell nicht zeitabhängig sind, ändert sich auch sein Erwartungswert nicht.
Insbesondere gilt für den Hamiltonoperator
der Hamiltonoperator hängt also, wenn überhaupt, nur explizit von der Zeit ab. Für abgeschlossene Systeme ist
und kommutiert zu jeder Zeit mit dem Hamiltonoperator. Somit ist
Für die Erwartungswert von Observablen gilt nach der heisenbergschen Bewegungsgleichung
Da im Heisenberg-Bild Zustände zeitunabhängig sind, kann der Erwartungswert im letzten Term an der Zeitableitung vorbei gezogen werden. Da Erwartungswerte nicht vom gewählten Bild abhängig sein können, folgt direkt das Ehrenfest-Theorem
Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ergibt in der Regel die einfacheren Gleichungen, da in diesem Bewegungsgleichungen von Vektoren, im Heisenberg-Bild aber von Operatoren (Matrizen) gelöst werden müssen. Dennoch ist das Heisenberg-Bild näher an der klassischen Physik als das Schrödinger-Bild. Im Heisenberg-Bild interpretiert man den Zustandsvektor
Klassisch entspricht einem Zustandsvektor im Heisenberg-Bild die Trajektorie im Phasenraum. Genau wie in der klassischen Physik jeder Bahnkurve eine Trajektorie entspricht (und die Trajektorie keine Informationen über die Zeit enthält), stellt ein Zustand die möglichen Bewegungen in der Quantenmechanik im Zustandsraum dar. Observablen in der klassischen hamiltonschen Mechanik lassen sich als Funktionen auf der Phasenraumtrajektorie beschreiben;
Zwischen der hamiltonschen Mechanik und dem Heisenberg-Bild wird das Korrespondenzprinzip zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik deutlich. In der hamiltonschen Mechanik gilt mit der Poisson-Klammer
was ein direktes Analogon zur Quantenmechanik liefert, wenn die Poisson-Klammern durch den Kommutator ersetzt werden.