Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen in der Molekülphysik und der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt werden. Bezeichnet werden die Punktgruppen in der Schoenflies-Notation. In der Kristallographie wird inzwischen hauptsächlich die Hermann-Mauguin-Symbolik verwendet.

Mathematische Grundlagen

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus Drehspiegelung bzw. die gleichwertige Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können keine Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt sowohl diskrete als auch kontinuierliche Punktgruppen. Die diskreten Punktgruppen kann man wieder in zwei unterschiedliche Arten einteilen:

• Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei,
• Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei.

Die diskreten Punktgruppen mit maximal einer ausgezeichneten $ n $-zähligen Drehachse können zusätzlich mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein. Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten:

Für einzelne Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

• $ C_{S}\equiv C_{1v}\equiv C_{1h}\equiv S_{1} $ ($ S= $ Spiegelung)
• $ C_{i}\equiv S_{2} $ ($ i= $ Inversion, d. h. Punktspiegelung)

Die Punktgruppen, die mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei besitzen, entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper.

• Die Tetraedergruppen: $ T,T_{d},T_{h} $. Dabei entspricht $ T_{d} $ der vollen Symmetrie eines Tetraeders.

• Die Oktaedergruppen: $ O,O_{h} $. Dabei entspricht $ O_{h} $ der vollen Symmetrie eines Oktaeders beziehungsweise Hexaeders.

• Die Ikosaedergruppen: $ I,I_{h} $. Dabei entspricht $ I_{h} $ der vollen Symmetrie eines Ikosaeders beziehungsweise Dodekaeders.

Die kontinuierlichen Punktgruppen werden auch Curie-Gruppen genannt. Sie bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen).

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen kommen hier auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor. Zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls genügen dagegen die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind.

Streicht man in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Drehachsen und Spiegelebenen, so erhält man die sogenannte geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls. Als Kristallklassen kommen daher nur solche Punktgruppen in Frage, deren Symmetrie mit einem unendlich ausgedehnten Gitter vereinbar ist. In einem Kristall sind nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die dreidimensionalen Punktgruppen, in denen keine oder ausschließlich 2-, 3-, 4- und/oder 6- zählige Drehachsen vorkommen bezeichnet man daher als kristallographische Punktgruppen. Insgesamt gibt es 32 kristallographische Punktgruppen, die auch als Kristallklassen bezeichnet werden.

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen $ T $ einer Raumgruppe $ R $ bilden einen Normalteiler von $ R $. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe $ R/T $ isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, das heißt seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle. Derartige Drehachsen kommen sowohl bei Molekülen, als auch in Festkörpern in den Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall wurde das Verbot für Kristalle als universell gültig angenommen.^[1]

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben. Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors beziehungsweise der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe. Dieser hat im Allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C₁₁₁₁ (=C₂₂₂₂=C₃₃₃₃), C₁₁₂₂ (= C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃=C₂₃₂₃). Alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls beziehungsweise Kristalls die Anzahl der infrarot- und ramanaktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6. 
• Will Kleber, Hans-Joachim Bautsch, Joachim Bohm, Detlef Klimm: Einführung in die Kristallographie. 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3. 
• Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
• Hollas, J. Michael: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7

Weblinks

Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Definition der Punktgruppe (IUCr, engl.)
• Geometrische Kristallklasse (IUCr, engl.)

Einzelnachweise