Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.^[1]

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:^[1]

1. $ \partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0 $
   
2. $ \partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0, $

wobei $ V $ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

Interpretation

$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:^[2][3]

1. $ \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0, $
2. $ {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V), $

wobei

• $ {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m $ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. $ \nabla S=m\cdot {\vec {v}} $ (Impuls)
  ​
• $ \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2} $ (Massedichte) mit Normierungsbedingung $ \int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1 $ bzw. $ \int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m $ zu jeder Zeit $ t $
• $ Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}} $ (Bohmsches Quantenpotential).

Bedeutung

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Siehe auch

• De-Broglie-Bohm-Theorie

Literatur

• R. Tsekov: Dissipative Time Dependent Density Functional Theory. In: International Journal of Theoretical Physics. 48. Jahrgang, 2009, S. 2660​–2664, doi:10.1007/s10773-009-0054-6, arxiv:0903.3644, bibcode:2009IJTP...48.2660T. 

Einzelnachweise