k·p-Methode

Die k·p-Methode (auch KP-Methode) ist eine störungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronischen Bandstruktur eines Festkörpers. Sie bietet eine Näherung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Elektronen in Halbleitern und anderen kristallinen Festkörpern. Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik zu simulieren.

Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form k·p auftritt, also das Skalarprodukt aus dem quantenmechanischen Impulsoperator p und dem Wellenvektor k .

Beschreibung

Die Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem periodischen effektiven Potential. Dieses beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und Atomkernen des Festkörpers.

Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor k₀ des Elektrons im reziproken Raum aus anderen Methoden (z.B. der Dichtefunktionaltheorie) bekannt, so kann die Elektronen-Energie für naheliegende k-Werte als Störung dieser Lösung bestimmt werden. Aus der Veränderung der Energie (Eigenwerte der Schrödinger-Gleichung) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt.

Ansatz

Die Wellenfunktion des Elektrons genügt in der Ein-Teilchen Näherung der Schrödingergleichung:

$ \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\right)\psi (\mathbf {r} )=E\,\psi (\mathbf {r} ) $

mit

• dem quantenmechanischen Impulsoperator p
• der Masse m des Elektrons
• dem effektiven elektrostatischen Potential V, das in einem kristallinen Material eine periodische Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall selbst ist.

Bloch's Theorem besagt nun, dass die Lösung einer solchen periodischen Differentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:

$ \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ) $

dabei ist

• n ein diskreter Bandindex
• k der Wellenvektor
• $ e $ die Eulersche Zahl
• $ \mathrm {i} $ die imaginäre Einheit
• u_nk eine Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall.

Setzt man $ \psi _{n\mathbf {k} } $ in die Einteilchen-Schrödingergleichung ein, so erhält man die folgende Differentialgleichung für u_nk:

$ \left({\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\right)u_{n\mathbf {k} }=E_{n\mathbf {k} }\,u_{n\mathbf {k} } $

mit dem reduzierten planckschen Wirkungsquantum $ \hbar $.

Für einen Wellenvektor k₀, für den die Lösungen bekannt sind (oft am Γ-Punkt k₀=0), behandelt die k·p-Methode nun den Term

$ {\frac {\hbar (\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0})\cdot \mathbf {p} }{m}} $

in obiger Gleichung als Störung (daher der Name). Ziel der Störungsrechnung ist es, näherungsweise Ausdrücke für die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu finden.

Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zustände n erhält man Gleichungen, in denen Wechselwirkungsterme in Form von Übergangsmatrixelementen zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen n' auftreten. Man erhält also n Gleichungen mit jeweils n'  Wechselwirkungstermen.

Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der Bandlücke, womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie, um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren. Schließlich ergeben sich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als Matrix darstellt, um anschließend die gesuchten Energieeigenwerte E_nk und die zugehörigen Eigenzustände u_nk zu berechnen.

Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die Dispersion $ {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E_{n\mathbf {k} } $, die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.

Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der k·p-Term die Bänder miteinander koppelt, die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

Literatur

• M. S. Dresselhaus: Group Theory - Application to the Physics of Condensated Matter. Springer Verlag, Heidelberg 2008.

(Anm.: Anspruchsvolles Fachbuch, in der die KP-Theorie systematisch abgeleitet wird)

• Dorothy G. Bell: Group Theory and Crystall Lattices. Review of Modern Physics, Volume 26, Number 3, p.311, 1954.
• C. Kittel: Quantentheorie des Festkörpers. R. Oldenbourg Verlag, München 1970, S. 201ff.
• I. J. Robertson, M. C. Payne: k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations. In: J. Phys.: Condens. Matter. 2, 1990, S. 9837–9852, doi:10.1088/0953-8984/2/49/010.
• W. Schäfer, M. Wegener: Semiconductor Optics and Transport Phenomena. Springer, 2002, ISBN 3-540-61614-4, S. 72ff.
• Christian Köpf: Die k·p-Methode. In: Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen. Wien 1997 (Dissertation, Technischen Universität Wien, online, abgerufen am 22. Januar 2010).