Wärmeübergangskoeffizient

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Der Wärmeübergangskoeffizient $ \alpha $ (engl. h für {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value)), auch Wärmeübergangszahl oder Wärmeübertragungskoeffizient genannt, ist ein Proportionalitätsfaktor, der die Intensität des Wärmeübergangs an einer Grenzfläche bestimmt. Der Wärmeübergangskoeffizient in W/(m²·K) ist eine spezifische Kennzahl einer Konfiguration von Materialien bzw. von einem Material zu einer Umgebung in Form eines Fluids.

Einzelne Disziplinen, darunter die Bauphysik, nutzen europaweit seit Juli 1999^[1] aufgrund international angepasster Normen statt $ \alpha $ das englische Formelzeichen h. Diesem Umstand wird in den entsprechenden Abschnitten Rechnung getragen.

Definition und Bedeutung

Der Wärmeübergangskoeffizient beschreibt die Fähigkeit eines Gases oder einer Flüssigkeit, Energie von der Oberfläche eines Stoffes abzuführen bzw. an die Oberfläche abzugeben. Er hängt unter anderem ab von der spezifischen Wärmekapazität, der Dichte und dem Wärmeleitkoeffizienten des wärmeabführenden sowie des wärmeliefernden Mediums. Die Berechnung des Koeffizienten für Wärmeleitung erfolgt meist über den Temperaturunterschied der beteiligten Medien.

Der Wärmeübergangskoeffizient ist im Gegensatz zur Wärmeleitfähigkeit keine Materialkonstante, sondern – im Falle einer Umgebung − stark abhängig von

• der Strömungsgeschwindigkeit v bzw. der Art der Strömung (laminar oder turbulent),
• den geometrischen Verhältnissen und
• der Oberflächenbeschaffenheit.

Im Bauwesen werden Wärmeübergangskoeffizienten häufig trotzdem als Konstante angenommen bzw. angegeben. Wegen ihrer Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit ist dies genau genommen falsch, jedoch relativ unbedenklich, weil im Bauwesen der Hauptwärmewiderstand nicht im Wärmeübergang liegt, sondern im Wärmedurchgang durch eine isolierte Wand.

Berechnung bei Wärmeübertragung

$ {\begin{alignedat}{2}Q&=\alpha \cdot A\cdot (T_{1}-T_{2})\cdot \Delta t\quad \Leftrightarrow \quad {\dot {Q}}&=\alpha \cdot A\cdot (T_{1}-T_{2})\\\Leftrightarrow \alpha &={\frac {Q}{A\cdot (T_{1}-T_{2})\cdot \Delta t}}&={\frac {\dot {Q}}{A\cdot (T_{1}-T_{2})}}\end{alignedat}} $

mit

• Q: übertragene Wärmemenge
• A: betrachtete Kontaktfläche / benetzte Oberfläche
• T₁, T₂: Temperaturen der beteiligten Medien
• Δt: betrachtetes Zeitintervall
• $ {\dot {Q}} $: Wärmestrom

Die abgeleitete Dimension des Wärmeübergangskoeffizienten in SI-Einheiten ist $ {\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot K} }}={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s^{3}\cdot K} }} $.

Je nach Richtung der Wärmeübertragung wird ΔQ einen positiven oder negativen Wert einnehmen.

Für Grenzschichten zwischen festen Materialien oder ruhenden Fluiden kann als absolute Größe – im Sinne einer Materialkonstante unabhängig von der Fläche – der Wärmewiderstand $ R_{th} $ angegeben werden:

$ R_{th}={\frac {1}{\alpha \cdot A}}={\frac {(T_{1}-T_{2})\cdot \Delta t}{Q}} $ in $ \mathrm {\frac {K}{W}} $ (mit $ \mathrm {K} $ - Kelvin, $ \mathrm {W} $ - Watt).

Thermodynamische Berechnungen

Lokaler Wärmeübergangskoeffizient

Lokale Werte $ \alpha (x) $ des Wärmeübergangskoeffizienten sind für Computersimulationen und theoretische Betrachtungen wichtig. In einer dünnen Grenzschicht an der Wandoberfläche ist die Strömung laminar und der Wärmetransport erfolgt überwiegend durch Wärmeleitung. In diesem Fall ergibt sich der lokale Wärmeübergangskoeffizient zu

$ \alpha _{\mathrm {GS} }={\frac {\lambda }{\delta _{\mathrm {T} }}} $

mit

• der Wärmeleitfähigkeit $ \lambda $ des Fluids bei der mittleren Temperatur $ T_{\mathrm {m} }={\frac {T_{\mathrm {F} }+T_{\mathrm {S} }}{2}} $
  • der Fluidtemperatur $ T_{\mathrm {F} } $ im turbulent durchmischten Bereich, d. h. außerhalb der laminaren Grenzschicht
  • der lokalen Oberflächentemperatur $ T_{\mathrm {S} } $ der Wand (S = solid, Festkörper bzw. surface, Oberfläche).
• der Dicke $ \delta _{T} $ der thermischen Grenzschicht. Bei Gasen hat $ \delta _{\mathrm {T} } $ etwa die gleiche Größe wie die Dicke $ \delta $ der Strömungsgrenzschicht. Das Grenzschichtverhältnis ist eine reine Funktion der Prandtl-Zahl und damit für das Fluid charakteristisch. In guter Näherung (Abweichung kleiner als 3 %) gilt:

$ {\frac {\delta _{\mathrm {T} }}{\delta }}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{Pr}}} $

Die lokale Wärmestromdichte $ {\dot {q}}_{\mathrm {GS} } $ durch die Grenzschicht ergibt sich aus

$ \Rightarrow {\dot {q}}_{\mathrm {GS} }={\frac {{\dot {Q}}_{\mathrm {GS} }}{A}}=\alpha _{\mathrm {GS} }\cdot (T_{\mathrm {F} }-T_{\mathrm {S} }). $

Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient

Für technische Berechnungen werden meist mittlere Wärmeübergangskoeffizienten verwendet, die für eine gegebene Geometrie (Baugruppe) mit dem Unterschied der Fluidtemperatur am Einlauf zur mittleren Wandtemperatur definiert werden.

Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient ist der dimensionslosen Nußelt-Zahl $ \mathrm {Nu} $ proportional, die bei gegebener Geometrie eine reine Funktion der Reynolds- und der Prandtl-Zahl ist:

$ \alpha _{m}={\frac {\lambda }{L}}\cdot \mathrm {Nu} (\mathrm {Re} ,\mathrm {Pr} ) $

mit

• der Wärmeleitfähigkeit $ \lambda $ des Fluids
• der charakteristischen Länge $ L $ (z. B. der Durchmesser einer Düse)
• der dimensionslosen Reynolds-Zahl $ \mathrm {Re} ={\frac {v\cdot L\cdot \rho }{\eta }} $
  • der charakteristischen Strömungsgeschwindigkeit $ v $ des Fluids (z. B. die mittlere Austrittsgeschwindigkeit aus einer Düse)
  • der Dichte $ \rho $ bei der arithmetisch gemittelten Temperatur des Fluids (s. o.)
  • der dynamischen Viskosität $ \eta $
• der dimensionslosen Prandtl-Zahl $ \mathrm {Pr} ={\frac {\eta \cdot c_{p}}{\lambda }} $
  • der isobaren spezifischen Wärmekapazität $ c_{p}. $

Die Darstellung des mittleren Wärmeübergangskoeffizienten durch die Nußelt-Zahl stellt ein Ähnlichkeitsgesetz dar, bei dem stets die jeweilige Definition der charakteristischen Länge und der charakteristischen Geschwindigkeit mit angegeben werden muss.

Freie Konvektion

Ist die Strömung bedingt durch freie Konvektion, so hängen der Wärmeübergangskoeffizient und die Nußelt-Zahl von der Grashof-Zahl ab.

Näherungsweise lässt sich der Wärmeübergangskoeffizient in diesem Fall mit folgenden Zahlenwertgleichungen ermitteln:

• Medium Luft: $ \alpha =12\cdot {\sqrt {v}}+2 $
• Medium Wasser: $ \alpha =2100\cdot {\sqrt {v}}+580, $

jeweils mit der Strömungsgeschwindigkeit $ v $ des Mediums in Metern pro Sekunde.

Wärmestrahlung

Die Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten durch Wärmestrahlung gestaltet sich sehr viel schwieriger als im Falle der Konvektion.

Für den Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung eines schwarzen Körpers gilt:

Wärmeübergangskoeffizient und -widerstand im Bauwesen

Im Bauwesen wurde vor einiger Zeit die englische Symbolik eingeführt ^[2]. Daher findet sich in bauphysikalischen Formeln und Berechnungen seither die von der sonst gebräuchlichen Schreibung abweichende Bezeichnung h.

h ist definiert als die Wärmemenge, die bei ruhender Luft und einem Temperaturunterschied von 1 Kelvin (zwischen Luft und Bauteiloberfläche) über eine Fläche von 1 m² innerhalb von 1 Sekunde übertragen wird. Sie addiert sich aus einem konvektiven h_c und einem Strahlungsanteil h_r; der Anteil aus Konduktion wird aufgrund der geringen Wärmeleitfähigkeit der Luft vernachlässigt.

$ h=h_{r}+h_{c}\ $ ^[2]

Ein vereinfachtes Rechenverfahren zur Ermittlung von h_r und h_c findet sich in ISO6946 Anhang A. h_r wird dort nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz aus dem Wärmeübergangskoeffizienten aufgrund Strahlung des schwarzen Körpers und dem Emissionsgrad des jeweiligen Oberflächenmaterials berechnet; h_c ist abhängig von der räumlichen Orientierung des Wärmestroms sowie bei außenliegenden Oberflächen von der Windgeschwindigkeit. Verbindliche Werte sowohl für h_c als auch für die Korrekturwerte unterschiedlicher Windgeschwindigkeiten werden - ohne Angabe der Herleitung - in Anhang A der Norm als Konstanten angegeben. Auch ein stark vereinfachendes Korrekturverfahren für nicht ebene Oberflächen wird in der Norm festgelegt.

Der Kehrwert 1/h (früher: 1/α) ist hier (abweichend von der in der Physik gebräuchlichen dimensionslosen Verwendung als Materialkonstante) lt. Norm der Wärmeübergangswiderstand R_s in (m²·K)/W.^[2]

• Je höher der Wärmeübergangskoeffizient, desto schlechter ist die Wärmedämmeigenschaft der Stoffgrenze.
• Je höher der Wärmeübergangswiderstand, desto besser ist die Wärmedämmeigenschaft.

Wärmeübergangskoeffizient bei thermisch aktiven Raumumfassungen

Bei der thermischen Bauteilaktivierung – sei es als stationär wirkende Heiz-/Kühlflächen oder als instationär arbeitende Massivspeicherkörper jeweils in die Raumumfassungen (Decken, Fußböden und/oder Wänden) integriert – ist der Gesamtwärmeübergangskoeffizient (Konvektion plus Strahlung) aufgrund der relativ kleinen Temperaturdifferenzen zwischen Oberfläche und Raum für die Wärmestromdichte sehr bedeutungsvoll. Die Komplexität der Mischkonvektion (freie und erzwungene Konvektion), die Überlagerung mit dem Wärmetransport durch Strahlung und das Vorhandensein von örtlich unterschiedlichen Luft- und Strahlungstemperaturen im Raum bezogen auf die thermisch aktiven Bauteiloberflächen führen zu Schwierigkeiten bei der Ermittlung der Gesamtwärmeübergangskoeffizienten und zu unterschiedlichen Ergebnisinterpretationen. Vorteilhaft gestaltet sich in der Praxis das Arbeiten mit den sogenannten Basiskennlinien, wie beispielsweise bei der normierten Leistungsberechnung für die Fußbodenheizung eingeführt und auch für die praktische Kühldeckenauslegung verwendet, da nur die Raumtemperatur als Bezugsgröße auftritt. Die Basiskennlinie gibt die Wärmestromdichte der Heiz-/Kühlfläche in Abhängigkeit von der Flächenlage im Raum an. In der Zeitschrift Gesundheitsingenieur^[3] wurde ein allgemeingültiger Zusammenhang zwischen Gesamtwärmeübergangskoeffizienten und Basiskennlinien hergestellt.^[4]

Normen

• EN ISO 6946, als DIN :1996-11 Bauteile - Wärmedurchlaßwiderstand und Wärmedurchgangskoeffizient - Berechnungsverfahren
• EN ISO 7345, als DIN :1996-01 Wärmeschutz - Physikalische Größen und Definitionen
• EN ISO 9346, als DIN :1996-08: Wärmeschutz - Stofftransport - Physikalische Größen und Definitionen

Literatur

• O. Krischer, W. Kast: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Trocknungstechnik. Springer-Verlag, ISBN 3-540-08280-8.
• H. Martin: Advances in Heat Transfer. Vol. 13. academic Press, New York/San Francisco/London 1977, S. 1–60.
• S. Polat: Drying Technology. 11, Nr. 6, 1993, S. 1147–1176.
• R. Viskanta: Experimental Thermal and Fluid Science. 6, 1993, S. 111–134.
• B. Glück: Wärmeübergangskoeffizienten an thermisch aktiven Bauteiloberflächen und der Übergang zu Basiskennlinien für die Wärmestromdichte. In: Gesundheitsingenieur. Heft 1, 2007, S. 1–10 (Eine Kurzfassung befindet sich im kostenlos erhältlichen Teilbericht Innovative Wärmeübertragung und Wärmespeicherung des vom PTJ betreuten Forschungsverbundkomplexes LowEx, Bericht_LowEx, 2008, Seite 18 ff.; zur Website).

EN ISO 6946:

• M. Reick, S. Palecki: Auszug aus den Tabellen und Formeln der DIN EN ISO 6946. Institut für Bauphysik und Materialwissenschaft. Universität GH Essen. Stand: Oktober 1999. (Webdokument, PDF; 168 KB).
• G. Bittersmann: Wärmeübertragung durch Bauteile (k-Wert) nach ÖNORM EN ISO 6946. In: LandesEnergieVerein Steiermark LEV (Hrsg.): Wärmebilanzen und Energiekennzahlen Juli 2000. Graz Juli 2000, Wärmeübergangswiderstände, S. 2 f. (pdf, lev.at [abgerufen am 21. Januar 2010]). 

Einzelnachweise