| Physikalische Kennzahl
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| Name |
Prandtl-Zahl
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| Formelzeichen
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$ {\mathit {Pr}} $
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| Dimension
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dimensionslos
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| Definition
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Pr} = \frac{\nu}{a}
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| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu
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kinematische Viskosität
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Temperaturleitfähigkeit
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| Benannt nach
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Ludwig Prandtl
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| Anwendungsbereich
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Vergleich von Konvektion und Diffusion
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Die Prandtl-Zahl (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Pr}
) ist eine nach Ludwig Prandtl benannte dimensionslose Kennzahl von Fluiden, das heißt von Gasen oder tropfbaren Flüssigkeiten. Sie ist definiert als Verhältnis zwischen kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Pr} = \frac{\nu}{a} = \frac {\nu \, \rho \, c_\mathrm p}{\lambda } = \frac{\eta\, c_\mathrm p}{\lambda}
- $ \eta $ – dynamische Viskosität des Fluids in kg·m−1·s−1
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu
– kinematische Viskosität in m2·s−1
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda
– Wärmeleitfähigkeit in W·m−1·K−1
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a
– Temperaturleitfähigkeit in m2·s−1
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_\mathrm p
– spezifische Wärmekapazität in J·kg−1·K−1 bei konstantem Druck.
Die Prandtl-Zahl stellt die Verknüpfung des Geschwindigkeitfeldes mit dem Temperaturfeld eines Fluids dar. Während die kinematische Viskosität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu
den Impulstransport infolge von Reibung repräsentiert, steht der Temperaturleitkoeffizient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a
für den (ggf. instationären) Wärmetransport infolge von Leitung. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld, der Wärmetransport durch das Temperaturfeld bestimmt ist, verbindet die Prandtl-Zahl die beiden für den Wärmeübergang maßgebenden Felder. Die Prandtl-Zahl ist somit ein Maß für das Verhältnis der Dicken von Strömungsgrenzschicht zu Temperaturgrenzschicht.[1]
Die Prandtl-Zahl ist eine reine, im Allgemeinen temperatur- und druckabhängige Stoffgröße (Materialparameter) des Fluids: $ {\mathit {Pr}}={\mathit {Pr}}(T,p) $.
Das Analogon der Prandtl-Zahl in der Stoffübertragung ist die Schmidt-Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Sc}
. Das Verhältnis aus Schmidt- und Prandtl-Zahl ist die Lewis-Zahl.
Für ein Modellgas aus einheitlichen, harten Kugeln mit anziehender Dipolwechselwirkung (Hartkugelgas) ergibt sich unabhängig von der Temperatur der Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Pr = \tfrac{2}{3}
(siehe kinetische Gastheorie). Dies steht für einatomige Gase Helium, Neon, Argon, Krypton und Xenon in sehr guter Übereinstimmung mit den experimentellen Werten.
Für Gase und Dämpfe gilt für Drücke von 0,1 bis 10 bar näherungsweise:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Pr} = \frac{4 \kappa}{9 \kappa - 5}
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \kappa
der Isentropenexponent ist.
Prandtl-Zahlen wichtiger Wärmeträgermedien
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:
Prandtl-Zahl von Luft in Abhängigkeit von Temperatur und Druck
Gase
| Material |
Prandtlzahl
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| Luft |
00,7179 (0 °C, 1 bar abs)
00,7194 (500 °C, 1 bar abs)
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| Wasserdampf |
00,973 (100 °C)
00,869 (500 °C)
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Flüssigkeiten[2]
| Material |
Prandtlzahl
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| Wasser
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13,44 (0 °C)
11,16 (5 °C)
06,99 (20 °C)
04,34 (40 °C)
03,00 (60 °C)
02,20 (80 °C)
01,75 (100 °C)
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| NatriumAnm.1 |
00000,0114 (100 °C)
00000,00535 (350 °C)
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| Quecksilber |
00000,0232
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| Benzol |
00007,488
|
| Ethanol |
00018,84
|
| Ethylenglycol |
00184,6
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| Glycerin |
11340
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Anm.1 Schmelzpunkt: 97,72 °C
Allgemein gilt:
- Die Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten nehmen mit steigender Temperatur ab.
- Flüssige Metalle haben sehr kleine Prandtl-Zahlen.
Gebrauchsformeln für Luft und Wasser
Für Luft mit einem Druck von 1 bar können die Prandtl-Zahlen im Temperaturbereich zwischen −100 °C und +500 °C mit nachfolgend angegebener Formel berechnet werden[3]. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 0,1 % zu den Literaturwerten.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Pr_\text{Luft} = \frac{10^9}{1{,}1 \cdot \vartheta^3 - 1200 \cdot \vartheta^2 + 322000 \cdot \vartheta + 1{,}393 \cdot 10^9}
Die Prandtl-Zahlen für Wasser (1 bar) lassen sich im Temperaturbereich zwischen 0 °C und 90 °C mit nachfolgend angegebener Formel ermitteln[3]. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 1 % zu den Literaturwerten.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Pr_\text{Wasser} = \frac{50000}{\vartheta^2 + 155\cdot \vartheta + 3700}
Prandtl-Zahl in turbulenten Strömungen
Bei turbulenten Strömungen zeigt sich durch die starken Verwirbelungen verursacht eine erhöhte Diffusivität:
- $ \nu _{\text{total}}={\nu }+{\nu _{\mathrm {t} }} $
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_\text{total} = {a} + {a_\mathrm t}
Damit kann auch eine turbulente Prandtl-Zahl definiert werden:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{Pr_\mathrm t} = \frac{\nu_\mathrm t}{a_\mathrm t}
Die turbulente Prandtl-Zahl ist nützlich zur Berechnung von turbulenten Grenzschichtströmungen mit Wärmeübertragung. Im simplen Modell der Reynolds-Analogie ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {Pr_\mathrm t} = 1
. Experimentelle Daten für Luftströmungen führen zu einem genaueren Wert von 0,7–0,9.
Einzelnachweise
- ↑ Heinz Brauer: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktionen. Sauerländer AG, Aarau, 1971, ISBN 3794100085
- ↑ Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten (PDF; 248 kB)
- ↑ 3,0 3,1 tec-science: Prandtl-Zahl. In: tec-science. 9. Mai 2020, abgerufen am 25. Juni 2020 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).