Bose-Einstein-Statistik

Besetzungszahl $ \langle n\rangle $ als Funktion der Energie $ E-\mu $
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur $ T>0 $.
Das chemische Potential $ \mu $ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $ T=0\,\mathrm {K} $ entspricht es der Fermienergie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $ \langle n(E)\rangle $ eines Quantenzustands der Energie $ E\, $ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $ T $ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $ E $ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $ x,y,z,m\, $ zweier Bosonen ($ x,y\, $ und $ z\, $: Ortsvariable; $ m\, $: Spinvariable) die Wellenfunktion $ \psi \, $ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $ (\psi \rightarrow \psi ) $, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $ (\psi \rightarrow -\psi ) $. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$ \langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}} $

mit

• dem chemischen Potential $ \mu $, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $ \mu <E $;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $ E-\mu >0 $ definiert.
• der Energienormierung $ \beta $. Die Wahl von $ \beta $ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu $ \beta =1/(k_{\mathrm {B} }T) $ mit der Boltzmann-Konstanten $ k_{\mathrm {B} } $;
  • sie beträgt $ \beta =1/T $, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $ k_{\mathrm {B} } $ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $ T_{\lambda } $ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $ \mu \, $ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $ \langle n(E)\rangle $ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $ g_{i}=2s+1 $ zu multiplizieren ($ s\, $: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

• U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics – a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).