Bose-Einstein-Statistik

Besetzungszahl $⟨n⟩$ als Funktion der Energie $E-\mu$
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur $T>0$.
Das chemische Potential $\mu$ ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei $T=0\mathrm{K}$ entspricht es der Fermienergie.

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose und Albert Einstein, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $⟨n(E)⟩$ eines Quantenzustands der Energie $E$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $T$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $E$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x,y,z,m$ zweier Bosonen ($x,y$ und $z$: Ortsvariable; $m$: Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \to \psi )$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \to -\psi )$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$⟨n(E)⟩=\frac{1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}$

mit

• dem chemischen Potential $\mu$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $\mu <E$;
  daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E-\mu >0$ definiert.
• der Energienormierung $\beta$. Die Wahl von $\beta$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
  • üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta =1/(k_{\mathrm{B}}T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm{B}}$;
  • sie beträgt $\beta =1/T$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm{B}}$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{\lambda }$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $⟨n(E)⟩$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_i=2s+1$ zu multiplizieren ($s$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Literatur

• U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics – a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).