Debye-Länge

In der Plasmaphysik ist die Abschirmlänge $λ_{D},$ nach Peter Debye Debye-Länge oder Debye-Radius genannt,^[1] die charakteristische Länge, auf welcher das elektrische Potential einer lokalen Überschussladung auf das $\frac{1}{e}$ -fache abfällt ( $e$ : Eulersche Zahl).

Datei:Ionenverteilung inLoesung.svg

Ionenverteilung in einer Lösung

In der näheren Umgebung einer Ladung befinden sich durch die elektrostatische Abstoßung bzw. Anziehung im statistischen Mittel weniger Ladungsträger gleicher Polarität als solche entgegengesetzter Polarität. Dadurch wird die Ladung nach außen hin abgeschirmt (siehe Abbildung). Durch die thermische Bewegung der Teilchen wird die Ordnung gestört und damit die abschirmende Wirkung geschwächt. Die sich ergebende Abschirmlänge ist eine zentrale Größe in der Debye-Hückel-Theorie. Ihr Wert hängt bei gegebenen Bedingungen von der Symmetrie des Problems ab: von Abschirmlänge spricht man bei einer ebenen Ladungsverteilung, von Debye-Radius bei Kugelsymmetrie.

Das Prinzip der Abschirmung einer Ladung durch frei bewegliche Ladungsträger ist anwendbar auf Plasmen, Elektrolyte und Halbleiter.

Debye-Länge in Plasmen

Im Gleichgewicht gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): $\begin{aligned} {λ_{D}}^{- 2} & = {λ_{De}}^{- 2} + {λ_{Di}}^{- 2} \\ = \frac{n_{e} e^{2}}{ε_{0}} (\frac{1}{k_{B} T_{e}} + \frac{1}{k_{B} T_{i}}) \end{aligned}$

Darin ist

λ_D die Debye-Länge
λ_De die Elektronen-Debye-Länge
λ_Di die Ionen-Debye-Länge (für einfach geladene Ionen)
T_e, T_i die Temperatur der Elektronen bzw. Ionen
n_e die Teilchendichte der Elektronen
ε₀ die Elektrische Feldkonstante
k_B die Boltzmannkonstante
e die Elementarladung, also die Ladung eines Elektrons.

In einem Plasma geringer Teilchendichte sind in Gegenwart elektrischer Felder die Elektronen oft viel heißer als die Ionen und deshalb gleichmäßiger verteilt. Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): $\begin{aligned} T_{e} & ≫ T_{i} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{k_{B} T_{e}} & ≪ \frac{1}{k_{B} T_{i}} \\ \Rightarrow λ_{D} & \approx λ_{Di} = \sqrt{\frac{ε_{0} k_{B} T_{i}}{n_{e} e^{2}}} \end{aligned}$

Umgekehrt ist in einem dichten Plasma oder bei schnell veränderlichen Feldern die Beweglichkeit der Ionen zu gering, um ihre Dichte dem Feld anzupassen. Dann kann der Ionen-Term vernachlässigt werden:

λ_{D} \approx λ_{De} = \sqrt{\frac{ε_{0} k_{B} T_{e}}{n_{e} e^{2}}}

.

Debye-Länge in Elektrolyten

In Elektrolyten hängt die Debye-Länge von der Teilchenzahldichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_i und Ladungszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z_i aller beteiligten Ionen ab.^[2] Für verdünnte Elektrolyte gilt:^[3]

λ_{D} = \sqrt{\frac{ε_{0} ε_{r} k_{B} T}{e^{2} \sum_{i} n_{i} z_{i}^{2}}}

.

Es ist es üblich die Teilchenzahldichte durch die Ionenstärke I auszudrücken. Damit gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 \, \varepsilon_\mathrm{r} \, k_\mathrm{B} \, T}{2 \times 10^3 \, N_\mathrm{A} \, e^2 \, I_c}} ,

für Ionenstärke $I_{c}$ in mol pro Liter. Hier sind $ε_{r}$ die relative Permittivität des Lösungsmittels und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_\mathrm{A} die Avogadro-Konstante.

Für wässrige Lösungen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_\mathrm{r}=80 ) eines 1:1-Elektrolyten wie etwa Kochsalz ergibt sich bei Raumtemperatur (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T=293 K) bei einer Konzentration von 0,1 mol/l eine Debye-Länge von 0,96 nm, bei 0,001 mol/l sind es 9,6 nm.

Abweichungen von der Debye-Länge ergeben sich aufgrund der in der Herleitung gemachten Idealisierungen (u. a.: nur elektrostatische Kräfte sind wirksam, keine Korrelationen zwischen den Ionen, Ionen sind Punktladungen), die nur für sehr niedrige Konzentrationen (unter 0,01 mol/l)^[4] gut erfüllt sind.^[3]

Debye-Länge in Halbleitern

Für einen n-Typ-Halbleiter gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_\mathrm{Dn} = \sqrt{\frac{\varepsilon \, U_T}{e \, n_0}}

und für einen p-Typ-Halbleiter:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_\mathrm{Dp} = \sqrt{\frac{\varepsilon \, U_T}{e \, p_0}}

Dabei ist

$ε = ε_{0} ε_{r}$ die Dielektrizitätskonstante des Halbleiters
$U_{T} = \frac{k_{B} T}{e}$ die Temperaturspannung
$n_{0}$ bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_0\, die Gleichgewichts-Ladungsträgerdichte des Halbleiters.

Einzelnachweise

↑ auch: Debye-Hückel-Länge, Debyescher Abschirmradius, vgl. Debye-Länge. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 1998 (spektrum.de).
↑ McQuarrie and Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. 25.6. libretexts.org
↑ ^3,0 ^3,1 Luis M. Varela, Manuel Garcı́a, Vı́ctor Mosquera: Exact mean-field theory of ionic solutions: non-Debye screening. In: Physics Reports. Band 382, Nr. 1–2, 2003, S. 1–111, doi:10.1016/S0370-1573(03)00210-2.
↑ Hermann Loring: Debye-Hückel-Theorie. In: techniklexikon.net. Abgerufen am 10. Juli 2021.

[1] uch: Debye-Hückel-Länge, Debyescher Abschirmradius, vgl. Debye-Länge. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 1998 (spektrum.de).

[2] McQuarrie and Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. 25.6. libretexts.org

[Varela2003-3] 3,0 ^3,1 Luis M. Varela, Manuel Garcı́a, Vı́ctor Mosquera: Exact mean-field theory of ionic solutions: non-Debye screening. In: Physics Reports. Band 382, Nr. 1–2, 2003, S. 1–111, doi:10.1016/S0370-1573(03)00210-2.

[4] Hermann Loring: Debye-Hückel-Theorie. In: techniklexikon.net. Abgerufen am 10. Juli 2021.

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[4]