Die Beweglichkeit
Man spricht in diesem Zusammenhang von der Driftgeschwindigkeit
In der Elektrodynamik wird die Beweglichkeit in leicht abgewandelter Form und damit mit anderer Einheit definiert. Die Ladungsträgerbeweglichkeit
Grundsätzlich ist es nur in dissipativen Systemen sinnvoll eine Mobilität einzuführen, also dort wo es Reibung und somit eine inelastische Streuung gibt. Ab einer bestimmten Geschwindigkeit gibt es ein Gleichgewicht zwischen äußerer Kraft und entgegengesetzt wirkender Reibungskraft, sodass die Bewegung stationär ist (allgemeiner: die mittlere Geschwindigkeit ist stationär).
Eine konstante an einem Körper angreifende Kraft
Die mechanische Beweglichkeit
In der Mechanik hat die Beweglichkeit somit die Einheit s/kg. Historisch interessant ist, dass Aristoteles dieses Gesetz als grundlegend für seine Mechanik angenommen hat. Die heutige Mechanik hingegen beruht auf den Newtonschen Axiomen, aus denen das Gesetz hervorgeht.
Ein Körper werde durch eine externe Kraft
Die resultierende Kraft setzt sich aus diesen beiden Beiträgen zusammen:
Im Gleichgewicht ist die resultierende Kraft und somit die Beschleunigung gleich Null und die stationäre Geschwindigkeit ist erreicht:
Die Beweglichkeit ist also
Die Beweglichkeit eines sich in einer Flüssigkeit bewegenden Körpers kann auch durch den mobilitätsäquivalenten Durchmesser bzw. Mobilitätsdurchmesser ausgedrückt werden. Dies ist der Durchmesser
Die Konstanten
Anwendung findet diese Größe vor allem in der Aerosoltechnik, besonders für ultrafeine Partikel.
In der Elektrodynamik wird die Beweglichkeit in leicht abgewandelter Form definiert. Die Ladungsträgermobilität (oder einfach Mobilität, speziell für Elektronen: Elektronenmobilität) bezeichnet den Zusammenhang zwischen einem angelegten elektrischen Feld und der Driftgeschwindigkeit von Ladungsträgern (Festkörper: Defekt-/Elektronen, Plasma: Elektronen/Ionen).
wobei
Bei kleinen Feldstärken ist
Für die Beweglichkeit von Ionen, siehe Ionenbeweglichkeit.
Die elektrische Leitfähigkeit lässt sich mit der Beweglichkeit in Verbindung bringen. Für leitfähige Stoffe lautet die Materialgleichung, die die elektrische Stromdichte mit dem angelegten elektrischen Feld über die elektrische Leitfähigkeit
Das zweite Gleichheitszeichen gilt unter Verwendung der obigen Definition der Beweglichkeit. Allgemein ist die Stromdichte als Ladungsdichte mal Geschwindigkeit definiert (
Somit kommt man durch Gleichsetzen auf den Zusammenhang zwischen Leitfähigkeit und Beweglichkeit:
wobei
Die Leitfähigkeit eines Halbleiters setzt sich zusammen aus der Elektronendichte
Bei Halbleitern ändert sich mit der Temperatur die Ladungsträgerdichte stark (exponentiell), dagegen ist die Temperaturabhängigkeit der Mobilität klein.
Ladungsträger bewegen sich in einem Gas oder Festkörper ohne ein elektrisches Feld in der Regel zufällig, d. h. die Driftgeschwindigkeit ist null. Bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes bewegen sich die Ladungen dagegen mit einer effektiven Geschwindigkeit entlang des Feldes, die deutlich geringer als die mittlere Geschwindigkeit der einzelnen Ladungen ist.
Nach dem Drude-Modell ist die Driftgeschwindigkeit gleich
Daraus kann man die Mobilität direkt ablesen:
wobei
Die mittlere Geschwindigkeit setzt sich aus mittlerer thermischer Geschwindigkeit
Eine quantenmechanische Betrachtung nach Sommerfeld liefert ein ähnliches Ergebnis. Dort muss allerdings die Masse durch die effektive Masse (kann sich um mehrere Größenordnungen von der Elektronenmasse unterscheiden) ersetzt werden. Zudem muss die mittlere Stoßzeit für die Elektronen mit der Fermienergie eingesetzt werden. Zur Leitfähigkeit (in entarteten Systemen, wie Metallen und hochdotierten Halbleitern) tragen nämlich nur die Elektronen mit Energie im Bereich
Bei Festkörpern hängt die Mobilität stark von der Anzahl von Störstellen und der Temperatur ab, sodass es schwierig ist Werte anzugeben. Es ist zu beachten, dass im Gegensatz zu einem einzigen Körper die Geschwindigkeit der vielen vorhandenen Ladungsträger statistisch verteilt ist. Die notwendige Reibungskraft, die eine konstante Beschleunigung verhindert, ist durch die Streuung an Fehlstellen im Kristall und an Phononen gegeben. Die mittlere freie Weglänge wird von diesen beiden Streumechanismen begrenzt. Die Elektronen untereinander streuen nur sehr selten und an den Gitteratomen eigentlich gar nicht. Näherungsweise lässt sich die Mobilität als Kombination von Effekten von Gitterschwingungen (Phononen) und von Störstellen durch die folgende Gleichung ausdrücken (Matthiessensche Regel):
Die Mobilität ist abhängig vom Material, der Störstellendichte, der Temperatur und der Feldstärke. Bei niedrigen Temperaturen streuen die Elektronen hauptsächlich mit Störstellen, bei höheren verstärkt mit Phononen (je höher die Temperatur, desto mehr Phononen sind angeregt).
Wie die quantenmechanische Betrachtung nach Sommerfeld zeigt, ist die Mobilität von der effektiven Masse abhängig. Dabei ist zu beachten, dass die effektive Masse im Allgemeinen ein Tensor, also richtungsabhängig ist. Somit ist bei einkristallinen Materialien die Beweglichkeit von der Kristallorientierung abhängig.
In Halbleitern ist die Mobilität zudem unterschiedlich für Elektronen im Leitungsband und Defektelektronen (= Löcher) im Valenzband. Elektronen haben meist kleinere effektive Massen als Löcher und somit eine höhere Mobilität. Falls einer der beiden Ladungsträger durch Dotierung dominiert, so ist die Leitfähigkeit des Halbleiters proportional zur Mobilität der Majoritätsladungsträger. Durch Dotierung eines hochreinen Halbleitermaterials (typischerweise Silizium) durch Fremdatome geeigneter Natur werden gezielt eine bestimmte Menge von beweglichen Ladungsträgern eingebracht, deren Mobilität jedoch verringert wird, da die Dotierungsatome Störstellen sind. Je nach Dotierungsmaterial entstehen Überschuss-Elektronen (n-Dotierung) oder Elektronenfehlstellen (p-Dotierung).
Abhängig von der Materialstruktur kann die Beweglichkeit stark variieren. Beispielsweise erreicht sie im Standardmaterial der Elektronik, dem Silicium (Si), nur mittlere Werte. Im Galliumarsenid (GaAs) dagegen ist sie wesentlich höher, mit der Folge, dass dieses Material weit höhere Arbeitsfrequenzen aus ihm erstellter Bauteile zulässt als Silicium, das aber zu ebenfalls höheren Materialkosten.
Elektronen- und Löchermobilität verschiedener Materialien in cm2·V−1·s−1 bei 300 K | |||
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Material | Elektronen | Löcher | Anmerkungen |
organische Halbleiter | ≤ 10 | ||
Rubren | 40 | höchste Beweglichkeit unter den organischen Halbleitern | |
übliche Metalle | ≈ 50 | ||
Silicium (kristallin, undotiert) | 1.400 | 450 | |
Germanium | 3.900 | 1.900 | |
Galliumarsenid | 9.200 | 400 | |
Indiumantimonid | 77.000 | ||
Kohlenstoff-Nanoröhrchen | 100.000 | ||
Graphen | 10.000 | auf SiO2-Träger | |
Graphen | 350.000 | bei 1,6 K; bisheriger Maximalwert[1] | |
Zweidimensionales Elektronengas | 35.000.000 | nahe dem absoluten Nullpunkt[2] |
Mobilität wird für jeden Bestandteil der Gasphase einzeln definiert. Dies ist von besonderem Interesse in der Plasmaphysik. Die Definition lautet:
wobei
Der Zusammenhang zwischen der Mobilität und dem Diffusionskoeffizienten ist als Einstein-Gleichung bekannt:
wobei