Elastizitätstensor

Der Elastizitätstensor bildet in der linearen Elastizität die Verzerrungen auf die Spannungen ab. Anisotropes Materialverhalten kann durch ihn abgebildet werden. Das Teilgebiet der Physik, das sich mit elastischen Verformungen befasst, wird Elastizitätstheorie genannt. Sie ist Teil der Kontinuumsmechanik und dadurch gekennzeichnet, dass elastische Deformationen reversibel sind: nach Wegfallen der äußeren Kraft kehrt das Material in seine Ausgangsform zurück. Das ist nicht mehr der Fall, wenn es zu Brüchen kommt oder zu plastischem Fließen – letzterer Fall wird durch die Plastizitätstheorie behandelt.

Elastizitätstensor

Bezeichnung der Normal- und Schubspannungen an einem 3-dimensionalen Materialvolumen

Mechanische Spannungen werden zur Berechnung als Kraftansatz an einer (Schnitt-)Fläche eines Körpers betrachtet. Eine Kraft wird dabei zur Berechnung in die Komponente Normalspannungen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma ), senkrecht auf der gewählten Ebene, und Schubspannungen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau ), in der Ebene, geteilt. Diese verschiedenen Spannungen werden im Spannungstensor zusammengefasst:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\overline{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \tau_{12} & \tau_{13} \\ \tau_{21} & \sigma_{22} & \tau_{23}\\ \tau_{31} & \tau_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}

Entsprechend werden die Deformationen im Verzerrungstensor zusammengefasst:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\overline{\varepsilon}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \gamma_{12}/2 & \gamma_{13}/2 \\ \gamma_{12}/2 & \varepsilon_{22} & \gamma_{23}/2\\ \gamma_{13}/2 & \gamma_{23}/2 & \varepsilon_{33} \end{bmatrix}

An einem einfachen Radiergummi kann man erkennen, dass ein Ziehen entlang der x-Achse nicht nur eine Deformation in x-Richtung verursacht, sondern den Radiergummi auch seitlich dünner werden lässt (Querkontraktion), d. h., Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{{11}} hängt auch linear mit den seitlichen Verschiebungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{22} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{33} zusammen.

Im Folgenden seien kleine Auslenkungen angenommen. Dadurch kann das verallgemeinerte Hookesche Gesetz herangezogen werden, das einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung herstellt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma = C \varepsilon .

Hierbei ist der Elastizitätstensor $ C $ ein Tensor vierter Stufe, mit 3×3×3×3 = 81 Komponenten. Komponentenweise lautet der Zusammenhang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 C_{ijkl} \varepsilon_{kl}

bzw. mit der Einsteinschen Summenkonvention

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl} .

Zur Vereinfachung der Darstellung lassen sich unter gewissen Voraussetzungen Symmetrien der beteiligten Tensoren ausnutzen:

• Der Spannungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma ist aufgrund der Drehimpulsbilanz symmetrisch: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij} = \sigma_{ji} . Hier wird – wie in den allermeisten Anwendungsfällen – implizit eine (quasi-)statische Betrachtungsweise angenommen.
• Der Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon wird unter der Annahme kleiner Auslenkungen meist als linearisierter Verzerrungstensor angenommen. In diesem Fall ist er per Definition symmetrisch, d. h. mit den Indizes aus obiger Formel gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_{kl} = \varepsilon_{lk} .

Diese beiden Voraussetzungen ergeben die beiden Nebensymmetrien

$ C_{ijkl}=C_{jikl}\quad $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \quad C_{ijkl} = C_{ijlk}

des Elastizitätstensors. Außerdem ergibt sich daraus, dass die Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\overline{\sigma}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{\overline{\varepsilon}} jeweils nur 6 unabhängige Komponenten haben. Die Anzahl der unabhängigen Komponenten im Elastizitätstensor hat sich dadurch auf 6×6=36 reduziert.

Die Hauptsymmetrie

$ C_{ijkl}=C_{klij} $

folgt aus der Hyperelastizität, welche das hier angenommene Hookesche Gesetz als Spezialfall enthält, unter Berücksichtigung des Satzes von Schwarz. Dadurch reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Elastizitätskomponenten auf 21.

Mithilfe der Voigtschen Notation werden die Komponenten der Spannungs- und Verzerrungsmatrizen jeweils in einem Spaltenvektor zusammengefasst. Dadurch lässt sich das Hookesche Gesetz in der Kelvin-Voigtschen Notation zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13} \\ \tau_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} ,

bzw. in der Kelvin-Mandelscher Notation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sqrt2\tau_{23} \\ \sqrt2\tau_{13} \\ \sqrt2\tau_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt2\varepsilon_{23} \\ \sqrt2\varepsilon_{13} \\ \sqrt2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} ,

darstellen, wobei in dieser Notation aufgrund der Hauptsymmetrie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_{ij}=C_{ji} gilt. Je nach Material und dessen Symmetrieeigenschaften können weitere Komponenten eliminiert werden, wie unten deutlich wird.

Im Falle eines quadratisch nichtlinearen Materials ergibt sich der Zusammenhang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij}=C_{ij}+C_{ijkl}\varepsilon_{kl}+C_{ijklmn}\varepsilon_{kl}\varepsilon_{mn}

zwischen Spannungstensor und Verzerrungstensor.^[1] Auch hier lassen sich obengenannte Symmetrien ausnutzen und die Matrix-Vektor-Notation einführen.

Spezielle Elastizitätsgesetze

Vollständige Anisotropie

Die vollständige (trikline) Anisotropie ist die allgemeinste Form eines Elastizitätsgesetzes. Sie zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

• keine Symmetrieebenen im Material
• 21 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz
• Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig
• alle Kopplungen sind vorhanden
• Steifigkeitsmatrix ist voll besetzt

Viele Faser-Kunststoff-Verbundwerkstoffe sind anisotrop. Ingenieure versuchen die aus vollständiger Anisotropie resultierenden Effekte zu nutzen.

Monokline Anisotropie

Die monokline Anisotropie hat für Konstruktionswerkstoffe wenig Bedeutung. Folgende Eigenschaften zeichnen die monokline Anisotropie aus:

• 1 Symmetrieebene im Material
• 13 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz
• Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig
• Kopplungen vorhanden

Rhombische Anisotropie (Orthotropie)

Viele Konstruktionswerkstoffe sind orthotrop, z. B. technisches Holz, Gewebe, viele Faser-Kunststoff-Verbunde, Walzbleche mit Textur usw. Die Orthotropie darf nicht mit der Anisotropie verwechselt werden. Der bloße richtungsabhängige Elastizitätsmodul ist noch kein Hinweis auf die Anisotropie. Die Orthotropie ist ein Sonderfall eines vollständig anisotropen Elastizitätsgesetzes. Die Orthotropie zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

• 3 Symmetrieebenen im Material
• 9 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz
• Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig
• keine Dehnungs-Schiebungs-Kopplung vorhanden

Orthotrope Werkstoffe machen also keine Schubverzerrung, wenn sie gedehnt werden. Dies macht sie für den Konstrukteur leicht handhabbar. Daher wird in der Faserverbundtechnik gezielt mit orthotropen Schichten wie dem ausgeglichenen Winkelverbund gearbeitet. Schichtholz wird so aufgebaut, dass es orthotrope Eigenschaften besitzt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{31}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{13}}{E_1} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{12}} \\ \end{bmatrix}

Anmerkungen:

• Die Matrix $ C $ und damit auch ihr Inverses sind symmetrisch. Im Allgemeinen nicht symmetrisch sind hingegen die in der Darstellung verwendeten Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{ij} , für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{12}=\frac{E_1}{E_2}\nu_{21} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{13}=\frac{E_1}{E_3}\nu_{31} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{23}=\frac{E_2}{E_3}\nu_{32} gilt.
• In der obigen Matrix ist folgende Konvention Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{xy}=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} für die Berechnung der Querkontraktion angewandt,

Transversale Isotropie

Die transversale Isotropie zeichnet sich dadurch aus, dass das Elastizitätsgesetz um eine Achse gedreht werden kann, ohne dass es sich ändert. Es ist also gegenüber der Drehung invariant. Ein Beispiel für ein transversal isotropes Material ist ein Rundholz oder eine unidirektionale Schicht. Die elastischen Eigenschaften des Rundholzes ändern sich nicht, wenn man es um seine Längsachse dreht. Dennoch besitzt das Holz unterschiedliche Moduln längs und quer zur Faser. Die transversale Isotropie wird durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert:

• 3 Symmetrieebenen im Material
• 5 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz, eine mögliche Auswahl ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_1 , $ E_{2} $, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{12} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{23} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G_{12} ^[2]
  • Denn es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu_{32} = \nu_{23} und die übrigen Größen in der Matrix ergeben sich aus der Beziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\nu_{12}}{E_1}=\frac{\nu_{21}}{E_2} .
• Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig, zwei Moduln sind identisch
• keine Dehnungs-Schiebungs-Kopplung vorhanden

Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der allgemeinen Orthotropie.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_2} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu_{23})}{E_2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{21}} \\ \end{bmatrix}

Isotropie

Das isotrope Gesetz ist das bekannteste und wichtigste Elastizitätsgesetz. Mit ihm können nahezu alle Metalle und unverstärkte Kunststoffe beschrieben werden. Auch kurzfaserverstärkte Kunststoffe können isotrop sein, wenn man die Verstärkungsfasern statistisch verteilt (siehe: Faser-Matrix-Halbzeuge). Das isotrope Elastizitätsgesetz zeichnet sich für den Konstrukteur hauptsächlich durch die Invarianz gegenüber der Drehung aus. In einer Konstruktion ist es also unerheblich, wie der isotrope Werkstoff orientiert wird. Gewalzte metallische Bleche können eine schwache Anisotropie aufweisen.

• unendlich viele Symmetrieebenen im Material
• 2 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz
• Elastizitätsmodul ist nicht richtungsabhängig, zwei Moduln sind identisch
• keine Schiebungs-Dehnung-Kopplung vorhanden

Kelvin Voigt-Schreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2(1+\nu)}{E} \\ \end{bmatrix} ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C=\begin{bmatrix} \lambda+2G & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda+2G & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda+2G & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \\ \end{bmatrix}

Kelvin-Mandelsche Schreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} \\ \end{bmatrix} ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C=\begin{bmatrix} \lambda+2G & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda+2G & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda+2G & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2G \\ \end{bmatrix}

Siehe auch: Lamé-Konstanten.

Kopplungen

Die unterschiedlichen Elastizitätsgesetze zeichnen sich durch ihre Kopplungen aus. Eine Kopplung bezeichnet den Effekt, dass das Material mit einer Verformung außerhalb der Wirkrichtung der Belastung reagiert.

Dehnungs-Querdehnungs-Kopplung

Dies ist die bekannteste Kopplung. Sie wird auch als Querkontraktionskopplung bezeichnet. Die Kopplung bewirkt, dass sich der Werkstoff bei Zug einschnürt, bzw. bei Druck verbreitert. Ingenieure haben gelernt mit der Dehnungskopplung umzugehen und wenden sie gezielt an, z. B. beim Nieten. Praktisch alle Konstruktionswerkstoffe besitzen diese Kopplung.

• verantwortliche Terme: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{1\dots 3{,}1\dots 3}, i\neq j

Dehnungs-Schiebungs-Kopplung

Besonders bei anisotropen Werkstoffen tritt diese Kopplung auf. Orthotrope Werkstoffe besitzen sie nicht. Die Dehnungs-Schiebungs-Kopplung erzeugt eine Schiebung bei einer Dehnung des Materials. Umgangssprachlich wird dies auch als Verzug bezeichnet. Mit Hilfe der klassischen Laminattheorie kann untersucht werden, ob ein Werkstoff eine Dehnungs-Schiebungs-Kopplung besitzt.

• verantwortliche Terme: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{1\dots3{,}4\dots6} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{4\dots6{,}1\dots3}

Schiebungs-Schiebungs-Kopplung

Die Schiebungs-Schiebungs-Kopplung tritt nur bei anisotropen Werkstoffen auf. Eine Schiebung in der Ebene erzeugt hier auch eine Schiebung aus der Ebene heraus.

• verantwortliche Terme: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{4 \dots 6{,}4 \dots 6}, i\neq j

Einzelnachweise