Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich ist es ein Tensorfeld, also ein von Punkt zu Punkt variierender Tensor.
Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:
z. B. mit dem klassischen Vektorpotential
Diese Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.
Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:
Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:
In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:
Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:
Mit der Konvention Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \epsilon_{0123} = -1 .
In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:
Der Energie-Impuls-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T^{\,\mu\nu} der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^{\,\alpha\beta} gebildet:
Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:
(Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst). Die kovariante Form der Matrixdarstellung des Tensors lautet bei Verwendung der Signatur (+,−,−,−) entsprechend
Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,F_{\alpha\beta} der kovariante Feldstärketensor ist.
Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen Maxwellgleichungen kompakt aufschreiben:
wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:
Im Folgenden wird das Gaußsche CGS-System verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten. Zudem wird statt der magnetischen Flussdichte die magnetische Feldstärke verwendet, da diese die zur elektrischen Feldstärke äquivalente Größe ist.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = q\left(E + \frac{1}{c}v \times H\right)
Der Lorentzkraft ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.
Mit
$ F={\frac {d}{dt}}\left(mv\right) $
folgt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d}{dt}\left(mv\right) = q\left(E + \frac{1}{c}v \times H\right)
Mit dem Differential der Zeit und der Lichtgeschwindigkeit multipliziert cdt ergibt sich die Gestalt.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d\left(mcv\right) = q\left(Ecdt + vdt \times H\right)
In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix} &d(mc v_x) & = q(E_x cdt + H_z v_y dt - H_y v_z dt) \\ &d(mc v_y) & = q(E_y cdt + H_x v_z dt - H_z v_x dt) \\ &d(mc v_z) & = q(E_z cdt + H_y v_x dt - H_x v_y dt) \end{matrix}
Wechseln wir zur Koordinatenschreibweise der speziellen Relativitätstheorie mit den kontravarianten Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): cdt=dx^0 \quad v^idt=dx^i \quad i=(1,2,3)
$ {\begin{matrix}&d(mcv_{x})&=q(E_{x}dx^{0}+H_{z}dx^{2}-H_{y}dx^{3})\\&d(mcv_{y})&=q(E_{y}dx^{0}+H_{x}dx^{3}-H_{z}dx^{1})\\&d(mcv_{z})&=q(E_{z}dx^{0}+H_{y}dx^{1}-H_{x}dx^{2})\end{matrix}} $
Diese drei Gleichungen drücken den Impuls des Teilchens (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c) in Abhängigkeit vom elektromagnetischen Feld und der vier Raumzeit-Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x^0,x^1,x^2,x^3) aus. Die Impulse auf der linken Seite sind die zu den drei Ortskoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^1,x^2,x^3 kanonisch konjugierten Variablen. Da die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^0 die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie. Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): dW=qEdx \quad dx=(dx^1,dx^2,dx^3)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d(mc^2)=q(E_xdx^1+E_ydx^2+E_zdx^3)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix} &d(mc^2) & = q(E_x dx^1 + E_y dx^2 + E_z dx^3) \\ &d(mcv_x) & = q(E_x dx^0 + H_z dx^2 - H_y dx^3) \\ &d(mcv_y) & = q(E_y dx^0 + H_x dx^3 - H_z dx^1) \\ &d(mcv_z) & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2) \end{matrix}
Auf der linken Seite steht der Viererimpuls.
$ {\begin{matrix}&dp^{0}&=q(E_{x}dx^{1}+E_{y}dx^{2}+E_{z}dx^{3})\\&dp^{1}&=q(E_{x}dx^{0}+H_{z}dx^{2}-H_{y}dx^{3})\\&dp^{2}&=q(E_{y}dx^{0}+H_{x}dx^{3}-H_{z}dx^{1})\\&dp^{3}&=q(E_{z}dx^{0}+H_{y}dx^{1}-H_{x}dx^{2})\end{matrix}} $
Wir wechseln in die kovariante Darstellung des Viererimpulses und sortieren nach den Komponenten der Koordinaten.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): dp_0 = -dp^0 \quad dp_i = dp^i \quad i = (1,2,3)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{matrix} &dp_0 & = q(0 - E_x dx^1 - E_y dx^2 - E_z dx^3) \\ &dp_1 & = q(E_x dx^0 + 0 + H_z dx^2 - H_y dx^3) \\ &dp_2 & = q(E_y dx^0 - H_z dx^1 + 0 + H_x dx^3) \\ &dp_3 & = q(E_z dx^0 + H_y dx^1 - H_x dx^2 +0) \end{matrix}
Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \begin{matrix} dp_0 \\ dp_1 \\ dp_2 \\ dp_3 \end{matrix} \right) = q \left( \begin{matrix} 0 &- E_x &- E_y &- E_z \\ E_x & 0 &+ H_z &- H_y \\ E_y &- H_z & 0 &+ H_x \\ E_z &+ H_y &- H_x & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} dx^0 \\ dx^1 \\ dx^2 \\ dx^3 \end{matrix} \right)
Woraus der elektromagnetische Feldstärketensor folgt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{\mu\nu} = \left( \begin{matrix} 0 &- E_x &- E_y &- E_z \\ E_x & 0 &+ H_z &- H_y \\ E_y &- H_z & 0 &+ H_x \\ E_z &+ H_y &- H_x & 0 \end{matrix} \right)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\mu} = qF_{\mu\nu} x^{\nu}
Hier gilt zu beachten, dass aufgrund der Herleitung mit Hilfe der Lorentzkraft die Signatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (-,+,+,+) gilt. Für die Signatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (+,-,-,-) muss lediglich mit $ -1 $ multipliziert werden.
Der Feldstärketensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit. Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ast \mathrm{d} F = j_\mathrm{mag} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ast \mathrm{d} \ast \mathrm F = j mit der magnetischen Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_\mathrm{mag} und der elektrischen Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j , beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.
Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm dF=0 , und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = \mathrm{d} A einer 1-Form $ A $ dargestellt werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.
Beispiel: Der Feldstärketensor einer ruhenden Punktladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = -q \mathrm{d}t \land \mathrm{d}\frac{1}{r} mit dem Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} . Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.
Die 4-Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{1}{2} F \land * F ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.
Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.
Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.
In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{B} aus der Koordinatendarstellung $ F={\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\land \mathrm {d} x^{\nu } $ des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = u \land E + \ast(u \land B) , wo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u einem zeitartigen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B raumartigen Vektorfeldern entsprechen.[1]
Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf: