Das Masse-Feder-System (kurz MFS, englisch Mass-Spring-System), in der Literatur auch Masse-Feder-Modell (kurz MFM), ist ein Verfahren in der Computergrafik, um das Deformationsverhalten von auf Polygonnetzen basierenden Objekten zu bestimmen. Es kann sowohl auf ebene als auch auf räumliche Objekte angewandt werden.
Die Gründe für die weite Verbreitung des Masse-Feder-Systems sind das leichtverständliche physikalische Konzept, die einfache Implementierung und die relativ niedrigen Rechenanforderungen.[1]
Das Masse-Feder-System basiert auf den physikalischen Ansätzen des Hookeschen Gesetzes.
Wegen der geringen Rechenleistung damaliger Computer wurde es anfänglich nur für Flächen genutzt (sowohl zweidimensionale, als auch im dreidimensionalen Raum eingebettete Flächen, zum Beispiel ein Tischtuch, das über einen Tisch fällt). Deshalb wurde es bei seinen ersten Verwendungen ab dem Jahr 1981 zunächst nur zur Haut- und Stoffverhaltenssimulation verwendet.[2][3] Erst 1989 wurden die ersten MFS-Volumenmodelle veröffentlicht.[4][5]
Heute ist es ein gängiges Verfahren in der Computerspielbranche und in der Medizin[1] zur Simulation operativer Eingriffe.
In einem Masse-Feder-System werden Objekte durch ein Netz aus Masseknoten, mechanischen Federn und Dämpfungsgliedern dargestellt.[2][6]
Die Knoten eines Polygonnetzes bekommen jeweils eine Masse. Die Kanten werden durch eine mechanische Feder, die mit einem Dämpfungsglied parallel geschaltet ist, dargestellt. Somit hat sie eine Federkonstante, eine Ruhelänge und eine Abklingkonstante. Das Dämpfungsglied ist notwendig, wenn das Objekt nach der Deformation nicht schwingen, sondern eine Ruhelage finden soll. In Abhängigkeit von den Masseknoten wird der Reibungskoeffizient errechnet.
Die Masseknoten sind regelmäßig im ganzen Objekt verteilt und stellen es so dar. Zur Verbindung der Masseknoten werden Federn zwischen sie gesetzt. Sind zwei Masseknoten miteinander verbunden, nennt man sie benachbart. Die Ausgangsform des Objekts liegt vor, wenn alle Federn in Ruhelage sind ($ E_{\mathrm {pot} }=0 $), also deren Ruhelänge haben. Wird nun ein Masseknoten verschoben, liegt an den benachbarten Federn eine potentielle Energie an (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{pot} \neq 0 ), die nun durch Verschieben der benachbarten Massepunkten minimiert wird. Eine solche Verschiebung wirkt sich auf das ganze Netz aus, wodurch sich dieses verschiebt.
Um einer Verschiebung im Raum entgegenzuwirken, können Punkte „befestigt“ werden (an einer absoluten Position oder an einer relativen Position zu einem anderen Massepunkt).[6] Dadurch kann unter anderem eine plastische Deformation erzielt werden.
Das Masse-Feder-System kann, um physikalisches Verhalten realistischer zu machen, um eine Kollisionserkennung ergänzt werden, damit die Massepunkte auf Kollisionen untereinander und auf Kollisionen mit anderen Objekten reagieren können.
In der folgenden Herleitung wird von einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d -dimensionalen Raum ausgegangen.
Masse-Feder-Systeme haben ihren Ursprung in der klassischen Mechanik. Sie basieren auf der Idee, dass ein Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M durch einen einzelnen Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m repräsentiert werden kann. Weitergehend kann dieser Masseknoten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n kleinere Masseknoten $ m_{i} $, verteilt über den ganzen Körper, unterteilt werden, sodass gilt:
Nach dem Hookeschen Gesetz ist das Verhalten einer Feder mit parallelem Dämpfungsglied folgendermaßen definiert:
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k die Federkonstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s die Auslenkung der Feder zur Ruhelage und $ \mu $ der Reibungskoeffizient ist.
Newtons Definition zum Verhalten einer bewegten Masse ist:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F ist die Kraft, die dem Körper der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m die Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec a erteilt.
Auf Basis dieser letzten beiden Gleichungen kann die Bewegungsgleichung eines einzelnen Masseknotens $ i $ hergeleitet werden.
Auf den Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i mit der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_i wird bei der Verschiebung um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s_i \in \mathbb{R}^d die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_i ausgeübt:
Die Auslenkung $ {\vec {s}}_{ij} $ wird bei zwei Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j in einem Masse-Feder-System mit der Distanz voneinander, abzüglich der Länge der Feder im Ruhezustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l_{0,ij} , berechnet:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x_i ist die Position des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i -ten Masseknotens. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\vec x_j - \vec x_i}{\begin{vmatrix}\vec x_j - \vec x_i\end{vmatrix}} wird der Richtungsvektor als Einheitsvektor von Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i zu Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j berechnet. Der Betrag von $ {\begin{vmatrix}{\vec {x}}_{j}-{\vec {x}}_{i}\end{vmatrix}}-l_{0,ij} $ ist der Abstand zwischen Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i und Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j minus der Ruhelänge der Feder, was den Längenskalar darstellt. Das Skalarprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s_{ij} ist die Auslenkung des Masseknotens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i in Abhängigkeit vom Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j .
Das führt zu folgender Kraft, die auf den einzelnen Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i mit dem benachbarten Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j wirkt:
Die externen Kräfte, die auf den Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i wirken, können als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_{\mathrm{ext},i} zusammengefasst werden:
mit dem Vektor der äußeren Kraft $ {\vec {F}}_{\mathrm {ext} ,i} $, dem Gravitationsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_{G, i} und dem Vektor der anderen externen Einwirkungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_{e, i} .
Fasst man alle auf den Masseknoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i wirkenden Kräfte zusammen, erhält man folgende Differenzialgleichung als Bewegungsgleichung, wobei $ N $ die Menge der benachbarten Masseknoten ist:
Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec F_i = m_i \ddot{\vec s_i} :
Die Bewegungsgleichung für das gesamte System erhält man, indem man alle Verschiebungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_i mit dem Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec s = (\vec s_1, \vec s_2, \dots, \vec s_n)^T , die Massen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_i mit der Matrix $ M $, die Reibungskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_{ij} mit der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D und die Federkonstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_{ij} der einzelnen Masseknoten durch die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K beschreibt:[1]
Die Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K sind beide symmetrisch, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_{ij} = \mu_{ji} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_{ij} = k_{ji} . Daraus folgt, dass jeweils nicht alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n^2 Komponenten, sondern nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{n^2+3n}{2} Komponenten berechnet werden müssen. Außerdem können die Komponenten auf der Hauptdiagonalen der Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K (also die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu_{ii} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_{ii} ) vernachlässigt werden, da es keine Feder gibt, die an beiden Enden mit demselben Masseknoten verbunden ist. Die Anzahl der zu berechnenden Komponenten verringert sich somit auf $ {\frac {n^{2}+n}{2}} $.
