Physikalische Größe | |||||||
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Name | Trägheitstensor | ||||||
Größenart | Trägheitsmoment | ||||||
Formelzeichen | |||||||
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Anmerkungen | |||||||
Der Trägheitstensor ist ein kovarianter und positiv definiter Tensor 2. Stufe. |
Der Trägheitstensor ist in der Mechanik die Eigenschaft eines starren Körpers, die seine Trägheit gegenüber Änderungen seines Drehimpulses beschreibt. Sein Formelzeichen ist
Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls
Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von Eigen- und Bahndrehimpuls. Mit Hilfe des Steinerschen Satzes lässt sich aus dem Trägheitstensor des Schwerpunktes der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.
In der Koordinatendarstellung des Trägheitstensors bezüglich einer Orthonormalbasis mit dem Koordinatenursprung im Bezugspunkt enthält er die Trägheits- und Deviationsmomente für Rotationsachsen, die parallel zu den Basisvektoren sind. Durch Koordinatentransformation erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.
Für bestimmte Drehachsen ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den Eigenvektoren des Trägheitstensors. Die entsprechenden Eigenwerte des Trägheitstensors nennt man die Hauptträgheitsmomente des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der Drehimpulserhaltung die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der Unwucht Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.
Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der Liste von Trägheitstensoren.
Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die Masse bezüglich der Translation.
Rotation | Translation |
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Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)Geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)impuls zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:
Für den Drehimpuls
Hier sind:
Dies lässt sich mit Hilfe der BAC-CAB-Formel, dem Einheitstensor
Mit der Definition des Trägheitstensors
ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit
Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors
Hier sind zusätzlich:
Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets
Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:
Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems.
Das Trägheitsmoment
Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor
Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente. Sie geben (nach Multiplikation mit
Im Allgemeinen gilt
Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die Hauptträgheitsmomente.
Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache Diagonalgestalt:
Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:
Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren
Dann gilt für den Drehimpuls
und für die Rotationsenergie
Definiert man die Länge des Ortsvektors
dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (Beweis). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem Kehrwert der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:
Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.
Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems
Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten
Und somit gilt für den Trägheitstensor
Hier sind weiterhin:
An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte
mit den einzelnen Trägheitsmomenten
Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge
Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen
Dabei wurde
benutzt, Analoges gilt in