Airy-Formel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. Dezember 2018, 18:29 Uhr

Die Airy-Formel gibt die Transmission eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen

{\mathcal {F}}

wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die Linienbreite

\delta

ist für große Finessen näherungsweise

{\frac {\Delta \nu }{\mathcal {F}}}

mit dem Freien Spektralbereich

\Delta \nu

.

Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.

Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen phasen- und amplitudenrichtig addiert.

Herleitung

Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten $r\neq 1$ berücksichtigt werden. Er ist über $r^{2}+t^{2}=1$ mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten $$ t $$ verknüpft. Nach $$ m $$ Umläufen, also $$ 2m $$ Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor $r^{2m}$ kleiner.

Während eines Umlaufs, d. h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel $2\varphi$ (also $1\varphi$ pro zurückgelegter Resonatorlänge $$ L $$ ). Diese Phase hängt ab

vom Verhältnis der Resonatorlänge $$ L $$ zur Wellenlänge $\lambda$ des Lichts sowie
vom Brechungsindex $$ n $$ des Mediums zwischen den Endspiegeln.

Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis von Lichtfrequenz $\nu$ zum freien Spektralbereich $\Delta \nu ={\frac {c}{2nL}}$ (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers:

\varphi =n{\frac {2\pi L}{\lambda }}=2\pi {\frac {\nu }{\Delta \nu }}=-2\pi {\frac {\lambda }{\Delta \lambda }}

Die elektrische Feldstärke $$ E $$ im Innern des Resonators ist

{\begin{aligned}E&=E_{\mathrm {i} }t\left(1+\sum _{m=1}^{m=\infty }r^{2m}\exp \left(2im\varphi \right)\right)\\&=E_{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{1-r^{2}\exp \left(2i\varphi \right)}}\end{aligned}}

mit der Feldstärke $E_{i}$ des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet. Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel:

{\begin{aligned}I=E\cdot E^{*}&={\frac {I_{\mathrm {i} }}{1-R}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {2{\sqrt {R}}}{1-R}}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\\&={\frac {I_{\mathrm {max} }}{1+\left({\frac {2{\mathcal {F}}}{\pi }}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\end{aligned}}

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:

der Reflexionskoeffizient $R=r^{2}$
der Transmissionskoeffizient $T=t^{2}$
die Finesse ${\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {R}}}{1-R}}$ .

Siehe auch

Fresnelsche Formeln

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 {{Dieser Artikel| behandelt die Formel, die die Transmission einer elektromagnetischen Welle beschreibt. Für die [[spezielle Funktion]] siehe [[Airy-Funktion]].}}
-[[File:Airy Formula.svg|thumb|Die Airy-Formel gibt die Transmission eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen <math>\mathcal{F}</math> wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die Linienbreite <math>\delta</math> ist für große Finessen näherungsweise <math>\frac{\Delta\nu}{\mathcal{F}}</math> mit dem Freien Spektralbereich <math>\Delta\nu</math>.]]
+[[Datei:Airy Formula.svg|mini|Die Airy-Formel gibt die [[Transmission (Physik)|Transmission]] eines Fabry-Pérot Interferometers&nbsp;(FPI) an. Für höhere Finessen <math>\mathcal{F}</math> wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die [[Linienbreite]] <math>\delta</math> ist für große Finessen näherungsweise <math>\frac{\Delta\nu}{\mathcal{F}}</math> mit dem Freien Spektralbereich <math>\Delta\nu</math>.]]
-Die '''Airy-Formel''', benannt nach dem Mathematiker und Astronom [[George Biddell Airy]], gibt den Verlauf der transmittierten [[Intensität (Physik)|Intensität]] elektromagnetischer Strahlung in einem [[Fabry-Pérot-Interferometer]] an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.
+Die '''Airy-Formel''', benannt nach dem Mathematiker und Astronom [[George Biddell Airy]], gibt den Verlauf der [[Transmission (Physik)|transmittierten]] [[Intensität (Physik)|Intensität]] [[elektromagnetische Strahlung|elektromagnetischer Strahlung]] in einem [[Fabry-Pérot-Interferometer]] an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der [[Wellenlänge]] oder [[Frequenz]] der Strahlung zum [[freier Spektralbereich|freien Spektralbereich]] des Interferometers.
-Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man das elektrische Feld aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen phasen- und amplitudenrichtig aufaddiert.
+Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die [[elektrisches Feld|elektrischen Felder]] aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen [[Phasenwinkel|phasen-]] und [[amplitude]]n<nowiki/>richtig addiert.
-== Herleitung der Formel ==
-Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-[[Reflexionsfaktor|Reflexionskoeffizienten]] <math>r\neq 1</math> berücksichtigt werden, der mit <math>r^2+t^2=1</math> mit dem Amplituden-[[Transmissionskoeffizient]]en <math>t</math> verknüpft ist. Nach <math>m</math> Umläufen, also <math>2m</math> Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor <math>r^{2m}</math> kleiner.
-Während eines Umlaufs, d.h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen [[Phasenwinkel]] <math>2\varphi</math> (also <math>1\varphi</math> pro zurückgelegter Resonatorlänge <math>L</math>). Diese Phase hängt vom Verhältnis der Resonatorlänge <math>L</math> zur Wellenlänge des Lichts <math>\lambda</math> ab; sowie vom [[Brechungsindex]] <math>n</math> des Mediums zwischen den Endspiegeln. Dies lässt sich auch als ein Verhältnis von Lichtfrequenz <math>\nu</math> zum freien Spektralbereich <math>\Delta\nu=\frac{c}{2nL}</math> (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers ausdrücken.
+== Herleitung ==
-:<math>\varphi=n\frac{2\pi L}{\lambda}=2\pi\frac{\nu}{\Delta\nu}=-2\pi\frac{\lambda}{\Delta\lambda}</math>
+Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist [[proportional]] zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-[[Reflexionsfaktor|Reflexionskoeffizienten]] <math>r \neq 1</math> berücksichtigt werden. Er ist über <math>r^2 + t^2 = 1</math> mit dem Amplituden-[[Transmissionskoeffizient]]en <math>t</math> verknüpft. Nach <math>m</math> Umläufen, also <math>2m</math> Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor <math>r^{2m}</math> kleiner.
+Während eines Umlaufs, d.&nbsp;h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen [[Phasenwinkel]] <math>2 \varphi</math> (also <math>1 \varphi</math> pro zurückgelegter [[Optischer Resonator|Resonator]]<nowiki/>länge <math>L</math>). Diese Phase hängt ab
+* vom Verhältnis der Resonatorlänge <math>L</math> zur Wellenlänge <math>\lambda</math> des Lichts sowie
+* vom [[Brechungsindex]] <math>n</math> des [[Ausbreitungsmedium|Mediums]] zwischen den Endspiegeln.
+Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis von Lichtfrequenz <math>\nu</math> zum freien Spektralbereich <math>\Delta\nu = \frac{c}{2nL}</math> (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers:
+:<math>\varphi = n \frac{2 \pi L}{\lambda} = 2 \pi \frac{\nu}{\Delta \nu} = -2 \pi \frac{\lambda}{\Delta \lambda}</math>
+Die [[elektrische Feldstärke]] <math>E</math> im Innern des [[Resonator]]s ist
-Die elektrische Feldstärke <math>E</math> im Innern des Resonators ist
 :<math>\begin{align}
-E&=E_\mathrm{i}t\left(1+\sum_{m=1}^{m=\infty}r^{2m}\exp\left(2im\varphi\right)\right)\\
+E &= E_\mathrm{i}t\left(1+\sum_{m=1}^{m=\infty}r^{2m}\exp \left( 2im\varphi\right) \right) \\
-&=E_\mathrm{i}\frac{\sqrt{1-r^2}}{1-r^2\exp\left(2i\varphi\right)}
+  &= E_\mathrm{i} \frac{\sqrt{1 - r^2}}{1 - r^2      \exp \left( 2i \varphi \right)}
-\end{align}
+\end{align}</math>
-</math>
-mit der Feldstärke des einfallenden Lichts <math>E_i</math>. In der obigen Rechnung wurde nach einer [[Indexverschiebung]] die [[geometrische Reihe]] ausgewertet. Das [[Betragsquadrat]] dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Identitäten]] die Airy-Formel:
+mit der Feldstärke <math>E_i</math> des einfallenden Lichts.
+In der obigen Rechnung wurde nach einer [[Indexverschiebung]] die [[geometrische Reihe]] ausgewertet. Das [[Betragsquadrat]] dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Identitäten]] die Airy-Formel:
 :<math>\begin{align}
-I=E\cdot E^*&=\frac{I_\mathrm{i}}{1-R}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2\sin^2(\varphi)}\\
+I = E \cdot E^* &= \frac{I_\mathrm{i}}{1-R}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2\sin^2(\varphi)}\\
-&=\frac{I_\mathrm{max}}{1+\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi}\right)^2\sin^2(\varphi)}\end{align}
+                &= \frac{I_\mathrm{max}}{1+ \left( \frac{2 \mathcal{F}}{\pi} \right) ^2 \sin^2(\varphi)}
-</math>
+\end{align}</math>
-In dieser Intensitätsdarstellung werden die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten <math>R=r^2</math> und <math>T=t^2</math> verwendet und die Finesse <math>\mathcal{F}=\frac{\pi\sqrt{R}}{1-R}</math> ersetzt.
+In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:
+* der Reflexionskoeffizient  <math>R=r^2</math>
+* der Transmissionskoeffizient <math>T=t^2</math>
+* die Finesse <math>\mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R}</math>.
 == Siehe auch ==