2a00:1398:200:200:8f9:ca88:af23:f929 (Diskussion) (→Elektrodynamik: Umbenennung von Psi auf Lambda sinnvoll, um Verwechslung mit Wellenfunktion zu vermeinden) |
imported>Aka K (https, Kleinkram) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Eine '''Eichtransformation''' verändert die | Eine '''Eichtransformation''' verändert die [[Eichtheorie|Eichfelder]] einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die [[potentielle Energie]]) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] oder ein [[Kraftfeld]]) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.<ref>{{Cite web | author=Robert G. Brown | url=https://webhome.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node30.html | title=Gauge Transformations | language=englisch | quote=A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.| accessdate=2013-01-17}}</ref> Dies wird als '''Eichfreiheit''' bezeichnet. | ||
Man unterscheidet | Man unterscheidet: | ||
* globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen [[Wellenfunktion]] der [[Quantenmechanik]]. | |||
* lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion. | |||
Eine [[Wirkung (Physik)|physikalische Wirkung]], die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. | Eine [[Wirkung (Physik)|physikalische Wirkung]], die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als ''eichinvariante'' Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem [[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]] aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen [[Bewegungsgleichung]]en gewinnt, wird als [[Eichtheorie]] bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – [[Gravitation]], [[Elektromagnetismus]], [[schwache Wechselwirkung]] ([[Beta-Zerfall]] des Neutrons) und die | ||
Eine Theorie, die nach dem [[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]] aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen | |||
[[starke Wechselwirkung]] (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben. | [[starke Wechselwirkung]] (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben. | ||
Nach dem [[Noether-Theorem]] weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin. | |||
Nach dem [[Noether-Theorem]] weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer [[Erhaltungsgröße]] hin. | |||
== Elektrodynamik == | == Elektrodynamik == | ||
Die [[Elektrodynamik]] ist invariant unter der Eichtransformation | Die [[Elektrodynamik]] ist invariant unter der Eichtransformation | ||
: <math>\phi'(\vec r, t) = \phi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math> | : <math>\phi'(\vec r, t) = \phi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math> | ||
: <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad}\, \Lambda(\vec r, t)\ ,</math> | : <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad} \, \Lambda(\vec r, t)\ ,</math> | ||
welche das [[elektrisches Potential|elektrische Potential]] <math>\phi</math> und das [[Magnetisches Potenzial|magnetische Potential]] <math>\vec{A}</math> | |||
um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion <math>\Lambda | um die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer beliebig wählbaren Funktion <math>\Lambda</math> ändert. | ||
Diese Transformation ändert weder das [[Magnetfeld]] | |||
:<math>\vec{B} = \mathrm{rot}~\vec{A}</math> | |||
noch das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] | |||
:<math>\vec{E} = -\mathrm{grad} \, \phi - \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}</math> | |||
:<math>\vec{E}=-\mathrm{grad}\,\phi-\frac{\partial}{\partial t} \vec{A}</math> | |||
Zur Definition von <math>\mathrm{grad}</math> und <math>\mathrm{rot}</math> siehe [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] und [[Rotation (Mathematik)|Rotation]]. | Zur Definition von <math>\mathrm{grad}</math> und <math>\mathrm{rot}</math> siehe [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] und [[Rotation (Mathematik)|Rotation]]. | ||
| Zeile 25: | Zeile 30: | ||
Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen. | Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen. | ||
Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit <math>c=1</math>. | Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit <math>c = 1</math>. | ||
=== Lorenz-Eichung === | === Lorenz-Eichung === | ||
{{Hauptartikel|Lorenz-Eichung}} | {{Hauptartikel|Lorenz-Eichung}} | ||
Durch die nach [[Ludvig Lorenz]] benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion <math>\psi\ </math>, die | Durch die nach [[Ludvig Lorenz]] benannte Eichtransformation mit einer [[Eichfunktion]] <math>\psi\ </math>, die | ||
: <math>\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - (\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi) </math> | |||
erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von <math>\phi\ </math> und <math>\vec{A}</math>. | :<math>\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - (\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi) </math> | ||
erfüllt, werden die inhomogenen [[Maxwellgleichungen]] zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von <math>\phi\ </math> und <math>\vec{A}</math>. | |||
=== Coulomb-Eichung === | === Coulomb-Eichung === | ||
{{Hauptartikel|Coulomb-Eichung}} | {{Hauptartikel|Coulomb-Eichung}} | ||
Erfüllt die Eichfunktion <math>\psi</math> hingegen | Erfüllt die Eichfunktion <math>\psi</math> hingegen | ||
: <math>\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,</math> | |||
so hilft die Transformation, das Skalarfeld <math>\phi</math> gerade zum [[Coulombpotential|Coulomb-Potential]] der Ladungen zu transformieren; <math>\phi</math> erfüllt dann die | :<math>\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,</math> | ||
so hilft die Transformation, das [[Skalarfeld]] <math>\phi</math> gerade zum [[Coulombpotential|Coulomb-Potential]] der Ladungen zu transformieren; <math>\phi</math> erfüllt dann die [[elektrostatisch]]e [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poissongleichung]]. | |||
== Allgemeine Relativitätstheorie == | == Allgemeine Relativitätstheorie == | ||
Eine Eichtransformation verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.
Man unterscheidet:
Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.
Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.
Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation
welche das elektrische Potential $ \phi $ und das magnetische Potential $ {\vec {A}} $ um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion $ \Lambda $ ändert.
Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld
noch das elektrische Feld
Zur Definition von $ \mathrm {grad} $ und $ \mathrm {rot} $ siehe Gradient und Rotation.
Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.
Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit $ c=1 $.
Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion $ \psi \ $, die
erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von $ \phi \ $ und $ {\vec {A}} $.
Erfüllt die Eichfunktion $ \psi $ hingegen
so hilft die Transformation, das Skalarfeld $ \phi $ gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; $ \phi $ erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.
Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:
Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.
en:Gauge transformation