Zyklotronfrequenz

Die Zyklotronfrequenz (auch Gyrationsfrequenz) ist die Umlauffrequenz geladener Teilchen (meist Elektronen) im homogenen Magnetfeld. Ein elektrisches Wechselfeld mit einer Frequenz gleich der Zyklotronfrequenz wird in der Teilchenphysik in Zyklotronen verwendet.^[1]

Allgemeines

Die Zyklotronfrequenz $ f $ stimmt mit der Umlauffrequenz des Wellenvektors des geladenen Teilchens auf der Zyklotronbahn überein.

Sie ist proportional zur magnetischen Flussdichte $ B $ und hängt von der Masse $ m $ und der Ladung $ q $ des Teilchens folgendermaßen ab:^[2]

$ f={\frac {|q|\cdot B}{2\pi \cdot m}} $ .

Die Zyklotronfrequenz ist unabhängig vom Bahnradius und führt daher zu einer charakteristischen Absorption elektromagnetischer Wellen (siehe Zyklotronresonanz) durch in einem Magnetfeld befindliche geladene Teilchen. Sie ist doppelt so groß wie die Larmorfrequenz.

Der Name Zyklotronfrequenz stammt vom Teilchenbeschleuniger Zyklotron. Hier wird die Konstanz der Umlauffrequenz geladener Teilchen im Magnetfeld ausgenutzt, um sie mit einem elektrischen Wechselfeld zu beschleunigen.

Herleitung

Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und lenkt geladene Teilchen auf eine Kreisbahn ab. Ihre Gesamtgeschwindigkeit wird dabei nicht verändert, somit bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft gleich. Es entsteht eine gleichförmige Kreisbewegung:

$ F_{l}=F_{z}{\frac {}{}} $

$ |q|vB={\frac {mv^{2}}{r}} $

$ \left.|q|B={\frac {mv}{r}}\qquad \right|v=\omega r=2\pi fr $

$ |q|B=m2\pi f{\frac {}{}} $

$ f={\frac {|q|B}{2\pi m}} $

Relativistische Effekte

Die obige Beziehung gilt nur, wenn $ v $ vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit $ c $ ist. Die relativistische, für alle Geschwindigkeiten gültige Formel lautet

$ f={\frac {1}{\gamma }}{\frac {|q|B}{2\pi m_{0}}}={\sqrt {1-\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}\cdot {\frac {|q|B}{2\pi m_{0}}} $,

wobei $ \gamma $ der Lorentzfaktor ist.

Weiteres

Als Zyklotron-Energie bezeichnet man

$ \hbar \omega _{c} $

mit $ \hbar $ - Plancksches Wirkungsquantum und

$ \omega _{c}=2\pi f $.

Abhandlungen, die das Gaußsche CGS-System mit der Flussdichte $ B $ in der Einheit Gauß, die Ladung $ q $ in der Einheit Franklin und die Masse m in der Einheit Gramm verwenden, definieren die Zyklotronfrequenz üblicherweise als

$ \omega _{c}={\frac {|q|\cdot B}{m\cdot c}} $

Die Landau’sche magnetische Länge beträgt

$ \ell _{B}={\sqrt {\hbar c/|q|B}} $

Häufig werden auf diese Weise Gleichungen, in denen das Magnetfeld $ B $ durch $ \hbar \omega _{c} $ und $ \ell _{B} $ ausgedrückt ist, formal identisch mit den entsprechenden Gleichungen im Internationalen Einheitensystem (SI).

Einzelnachweise