Darwin-Term

Der Darwin-Term $ H_{\mathrm {Darwin} } $ (nach Charles Galton Darwin) ist ein relativistischer Korrekturterm im Hamiltonoperator $ {\hat {H}} $, um die Feinstruktur im Wasserstoffspektrum theoretisch zu erklären. Er ergibt sich aus der Dirac-Theorie.

Er beschreibt, dass in nicht-relativistischer Näherung die elektrostatische Wechselwirkung des Elektrons mit dem elektrischen Feld des Kerns aufgrund der Zitterbewegung nicht mehr lokal ist, sondern auch von einem kleinen Bereich des elektrischen Feldes um das Elektron herum abhängt:

$ H_{\mathrm {Darwin} }={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\left(\Delta V\right). $

Wenn das Potential V ein Coulomb-Potential $ V(r)=-Ze^{2}/r $ ist, kann der Darwin-Term auch geschrieben werden als

$ H_{\mathrm {Darwin} }={\frac {\pi \hbar ^{2}Ze^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\cdot \delta ^{(3)}(\mathbf {x} ). $

Dabei ist

• $ \hbar \,\! $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• $ m_{e}\,\! $ die Elektronenmasse
• $ c\,\! $ die Lichtgeschwindigkeit
• $ \Delta \,\! $: Laplace-Operator
• $ V\,\! $: das Potential
• $ e\,\! $: die Elementarladung
• $ Z\,\! $ die Kernladungszahl
• $ \delta ^{(3)}(\mathbf {x} )\,\! $ die Delta-Distribution in drei Dimensionen.

Das Elektron ist also nicht exakt lokalisiert, seine Position schwankt um $ \delta r={\frac {\hbar }{m_{e}c}}={\frac {\lambda _{\mathrm {C} }}{2\pi }} $, die Compton-Wellenlänge des Elektrons (dividiert durch $ 2\pi $). Der Darwin-Term spielt nur bei Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl $ l=0 $ eine Rolle, weil nur deren Wellenfunktionen am Kernort ($ {\vec {r}}=0 $) nicht verschwinden.^[1]

Literatur

• Armin Wachter: Relativistische Quantenmechanik. Springer, Berlin/ Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22922-1, S. 167.

Einzelnachweise

en:Fine structure #Darwin term