Airy-Formel

Die Airy-Formel gibt die Transmission eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen $\mathcal{F}$ wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die Linienbreite $\delta$ ist für große Finessen näherungsweise $\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\mathcal{F}}$ mit dem Freien Spektralbereich $\mathrm{\Delta }\nu$.

Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.

Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen phasen- und amplitudenrichtig addiert.

Herleitung

Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten $r\ne 1$ berücksichtigt werden. Er ist über $r^2+t^2=1$ mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten $t$ verknüpft. Nach $m$ Umläufen, also $2m$ Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor $r^{2m}$ kleiner.

Während eines Umlaufs, d. h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel $2\phi$ (also $1\phi$ pro zurückgelegter Resonatorlänge $L$). Diese Phase hängt ab

• vom Verhältnis der Resonatorlänge $L$ zur Wellenlänge $\lambda$ des Lichts sowie
• vom Brechungsindex $n$ des Mediums zwischen den Endspiegeln.

Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis von Lichtfrequenz $\nu$ zum freien Spektralbereich $\mathrm{\Delta }\nu =\frac{c}{2nL}$ (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers:

$\phi =n\frac{2\pi L}{\lambda }=2\pi \frac{\nu }{\mathrm{\Delta }\nu }=-2\pi \frac{\lambda }{\mathrm{\Delta }\lambda }$

Die elektrische Feldstärke $E$ im Innern des Resonators ist

$\begin{array}{rl}E& =E_{\mathrm{i}}t(1+\sum _{m=1}^{m=\mathrm{\infty }}{r}^{2m}\exp \left(2im\phi \right))\\ & =E_{\mathrm{i}}\frac{\sqrt{1-r^2}}{1-r^2\exp \left(2i\phi \right)}\end{array}$

mit der Feldstärke $E_i$ des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet. Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel:

$\begin{array}{rl}I=E\cdot E^{\ast }& =\frac{I_{\mathrm{i}}}{1-R}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)}^2{\sin }^2(\phi )}\\ & =\frac{I_{\max }}{1+{\left(\frac{2\mathcal{F}}{\pi }\right)}^2{\sin }^2(\phi )}\end{array}$

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:

• der Reflexionskoeffizient $R=r^2$
• der Transmissionskoeffizient $T=t^2$
• die Finesse $\mathcal{F}=\frac{\pi \sqrt{R}}{1-R}$.

Siehe auch

• Fresnelsche Formeln