Airy-Formel
- Elektrodynamik
- Optik
- George Biddell Airy als Namensgeber
Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.
Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen phasen- und amplitudenrichtig addiert.
Herleitung
Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten $ r\neq 1 $ berücksichtigt werden. Er ist über $ r^{2}+t^{2}=1 $ mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten $ t $ verknüpft. Nach $ m $ Umläufen, also $ 2m $ Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor $ r^{2m} $ kleiner.
Während eines Umlaufs, d. h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel $ 2\varphi $ (also $ 1\varphi $ pro zurückgelegter Resonatorlänge $ L $). Diese Phase hängt ab
- vom Verhältnis der Resonatorlänge $ L $ zur Wellenlänge $ \lambda $ des Lichts sowie
- vom Brechungsindex $ n $ des Mediums zwischen den Endspiegeln.
Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis von Lichtfrequenz $ \nu $ zum freien Spektralbereich $ \Delta \nu ={\frac {c}{2nL}} $ (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers:
- $ \varphi =n{\frac {2\pi L}{\lambda }}=2\pi {\frac {\nu }{\Delta \nu }}=-2\pi {\frac {\lambda }{\Delta \lambda }} $
Die elektrische Feldstärke $ E $ im Innern des Resonators ist
- $ {\begin{aligned}E&=E_{\mathrm {i} }t\left(1+\sum _{m=1}^{m=\infty }r^{2m}\exp \left(2im\varphi \right)\right)\\&=E_{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{1-r^{2}\exp \left(2i\varphi \right)}}\end{aligned}} $
mit der Feldstärke $ E_{i} $ des einfallenden Lichts.
In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet. Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel:
- $ {\begin{aligned}I=E\cdot E^{*}&={\frac {I_{\mathrm {i} }}{1-R}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {2{\sqrt {R}}}{1-R}}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\\&={\frac {I_{\mathrm {max} }}{1+\left({\frac {2{\mathcal {F}}}{\pi }}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\end{aligned}} $
In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:
- der Reflexionskoeffizient $ R=r^{2} $
- der Transmissionskoeffizient $ T=t^{2} $
- die Finesse $ {\mathcal {F}}={\frac {\pi {\sqrt {R}}}{1-R}} $.