Atomare Einheiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. November 2021, 10:35 Uhr

Die atomaren Einheiten (englisch: atomic units, au) bilden ein natürliches Einheitensystem, das hauptsächlich in der Atom- und Molekülphysik und der Theoretischen Chemie benutzt wird. Die atomaren Einheiten gehen von den Eigenschaften des Elektrons im Wasserstoffatom aus.

Die atomaren Einheiten sind:^[1]^[2]

Länge: der Bohrsche Radius $a_{0}$ ( $\approx 53\,\mathrm {pm}$ )
Masse: die atomare Masseneinheit $\mathrm {amu}$ ( $\approx 931\,\mathrm {MeV/c^{2}}$ ) oder die Elektronenmasse $m_{\mathrm {e} }$ ( $\approx 511\,\mathrm {keV/c^{2}}$ )
Ladung: die Elementarladung $$ e $$ ( $\approx 1,6\cdot 10^{-19}\,\mathrm {As}$ )
Energie: die Hartree-Energie $E_{\text{h}}$ ( $\approx 27\,\mathrm {eV}$ )

Ebenfalls gebräuchlich:

Drehimpuls: die Plancksche Konstante $\hbar$ ( $\approx 6{,}6\cdot 10^{-16}\,\mathrm {eV\,s}$ )
Zeit: die atomic time unit $\mathrm {a.t.u.} ={\frac {\hbar }{E_{\text{h}}}}.$ ( $\approx 2,4\cdot 10^{-17}\,\mathrm {s}$ )

Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die Schrödingergleichung. Zum Beispiel ergibt sich der Hamilton-Operator für ein Elektron im Wasserstoffatom zu:

in SI-Einheiten:

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}

in atomaren Einheiten:

{\hat {H}}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {1}{r}}

In atomaren Einheiten ist $e=m_{\mathrm {e} }=\hbar ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1\,\mathrm {a.u.}$ . Die Vakuumlichtgeschwindigkeit hat den Wert $1/\alpha \approx 137\,\mathrm {a.u.}$ , wobei $\alpha$ die Feinstrukturkonstante ist. Mit CODATA 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten festgelegt. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit $a_{0}$ der Radius und die Zeiteinheit $\mathrm {a.t.u.}$ die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit $E_{\text{h}}$ die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.

Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens). Beispielsweise ist eine Masse von 2 a.u. das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von $1\,\mathrm {a.u.} ={\frac {\hbar ^{2}}{m\cdot e\cdot a_{0}^{3}}}$ die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.

Atomare Einheiten für magnetische Größen

Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die magnetische Flussdichte $$ B $$ . Entweder gilt für eine elektromagnetischen Welle im Vakuum wie in SI-Einheiten $B=E/c_{0}$ oder wie in gaußschen Einheiten $$ B=E $$ . Dabei bezeichnet $$ E $$ die elektrische Feldstärke und $c_{0}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das Bohrsche Magneton nur in SI-basierten atomaren Einheiten $1/2\,\mathrm {a.u.}$ . Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der Intensität einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.

Mit CODATA 2014 wurden insbesondere auch die SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte $B_{\mathrm {au} }=\hbar /(a_{0}^{2}e)$ , der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}_{\mathrm {au} }=E_{\mathrm {h} }/(a_{0}e)$ , der Geschwindigkeit $v_{\mathrm {au} }=c_{0}\alpha$ und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. festgelegt.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Douglas Rayner Hartree: The calculation of atomic structures. Wiley, New York, NY 1957 (IX, 181 S., Das Kapitel ATOMIC UNITS ist auf S. 5 ff. zu finden).
↑ Eintrag zu atomic units. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.A00504 Version: 2.1.6.

[Hartree_1957-1] Douglas Rayner Hartree: The calculation of atomic structures. Wiley, New York, NY 1957 (IX, 181 S., Das Kapitel ATOMIC UNITS ist auf S. 5 ff. zu finden).

[Gold_Book_01-2] Eintrag zu atomic units. In: IUPAC Compendium of Chemical Terminology (the “Gold Book”). doi:10.1351/goldbook.A00504 Version: 2.1.6.

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 Die atomaren Einheiten sind:<ref name=Hartree_1957/><ref name=Gold_Book_01/>
-* [[Länge (Physik)|Länge]]: der [[Bohrscher Radius|Bohrsche Radius]]&nbsp;<math>a_0</math>
+* [[Länge (Physik)|Länge]]: der [[Bohrscher Radius|Bohrsche Radius]]&nbsp;<math>a_0</math> (<math>\approx 53 \,\mathrm{pm}</math>)
-* [[Masse (Physik)|Masse]]: die [[atomare Masseneinheit]]&nbsp;<math>amu</math> und die [[Elektronenmasse]]&nbsp;<math>m_e</math>
+* [[Masse (Physik)|Masse]]: die [[atomare Masseneinheit]]&nbsp;<math>\mathrm{amu}</math> (<math>\approx 931\, \mathrm{MeV/c^2}</math>)  oder die [[Elektronenmasse]]&nbsp;<math>m_\mathrm e</math> (<math>\approx 511\,\mathrm{keV/c^2}</math>)
-* [[Ladung (Physik)|Ladung]]: die [[Elementarladung]]&nbsp;<math>e</math>
+* [[Elektrische Ladung|Ladung]]: die [[Elementarladung]]&nbsp;<math>e</math> (<math>\approx 1,6\cdot  10^{-19}\,  \mathrm{As}</math>)
-* [[Energie]]: die [[Hartree-Energie]]&nbsp;<math>E_\text{h}.</math>
+* [[Energie]]: die [[Hartree-Energie]]&nbsp;<math>E_\text{h}</math> (<math>\approx 27\, \mathrm{eV}</math>)
 Ebenfalls gebräuchlich:
-* [[Drehimpuls]]: die [[Plancksche Konstante]]&nbsp;<math>\hbar</math>
+* [[Drehimpuls]]: die [[Plancksche Konstante]]&nbsp;<math>\hbar</math>  (<math>\approx 6{,}6\cdot 10^{-16}\,\mathrm{eV\,s}</math>)
+* [[Zeit]]: die ''atomic time unit''&nbsp;<math>\mathrm{a.t.u.} = \frac{\hbar}{E_\text{h}}.</math> (<math>\approx 2,4\cdot 10^{-17}\, \mathrm{s}</math>)
-* [[Zeit]]: die ''atomic time unit''&nbsp;<math>a.t.u. = \frac{\hbar}{E_\text{h}}.</math>
 Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die [[Schrödingergleichung]].
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 :<math>\hat H = - \frac{\nabla^2}{2} - \frac{1}{r}</math>
-In atomaren Einheiten ist <math>e=m_e=\hbar= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 1</math>. Die [[Lichtgeschwindigkeit|Vakuumlichtgeschwindigkeit]] hat  den Wert <math>1/\alpha\approx 137\,\mathrm{a.u.}</math>, wobei <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]] ist. Mit [[CODATA]] 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten festgelegt.
+In atomaren Einheiten ist <math>e=m_\mathrm e=\hbar= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 1 \,\mathrm{a.u.}</math>. Die [[Lichtgeschwindigkeit|Vakuumlichtgeschwindigkeit]] hat  den Wert <math>1/\alpha\approx 137\,\mathrm{a.u.}</math>, wobei <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]] ist. Mit [[CODATA]] 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten festgelegt. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit <math>a_0</math>der Radius und die Zeiteinheit <math>\mathrm{a.t.u.} </math> die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit <math>E_\text{h}</math> die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.
-Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens). Beispielsweise ist eine Masse von 2 a.u. das doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von <math>1\,\mathrm{a.u.} = \frac{\hbar^2}{m \cdot e \cdot a_0^3}</math> die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.
+Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens). Beispielsweise ist eine Masse von 2 a.u. das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von <math>1\,\mathrm{a.u.} = \frac{\hbar^2}{m \cdot e \cdot a_0^3}</math> die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.
 == Atomare Einheiten für magnetische Größen ==
 Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die [[magnetische Flussdichte]] <math>B</math>. Entweder gilt für eine [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Welle]] im Vakuum wie in [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheiten]] <math>B=E/c_0</math> oder wie in [[Gaußsches Einheitensystem|gaußschen Einheiten]] <math>B=E</math>. Dabei bezeichnet <math>E</math> die [[elektrische Feldstärke]] und <math>c_0</math> die [[Lichtgeschwindigkeit|Vakuumlichtgeschwindigkeit]]. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das [[Bohrsches Magneton|Bohrsche Magneton]] nur in SI-basierten atomaren Einheiten <math>1/2\,\mathrm{a.u.}</math>. Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der [[Intensität (Physik)|Intensität]] einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.
-Mit [[CODATA]] 2014 wurden insbesondere auch die SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte <math>B_{au}=\hbar / (a_0^2e)</math>, der elektrischen Feldstärke <math>\vec E_{au}=E_h/(a_0e)</math>, der Geschwindigkeit <math>v_{au}=c_0 \alpha</math>, und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc festgelegt.
+Mit [[CODATA]] 2014 wurden insbesondere auch die SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte <math>B_\mathrm{au}=\hbar / (a_0^2e)</math>, der elektrischen Feldstärke <math>\vec E_\mathrm{au}=E_\mathrm h/(a_0e)</math>, der Geschwindigkeit <math>v_\mathrm{au}=c_0 \alpha</math> und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. festgelegt.
 == Siehe auch ==
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 [[Kategorie:Theoretische Chemie]]
 [[Kategorie:Größen- und Einheitensystem]]
+[[Kategorie:Atomare Einheit| ]]