Rydberg-Konstante: Unterschied zwischen den Versionen

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Rydberg-Konstante: Unterschied zwischen den Versionen

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  | Name          = Rydberg-Konstante
  | Name          = Rydberg-Konstante
  | Formelzeichen = <math>R_\infty</math>
  | Formelzeichen = <math>R_\infty</math>
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  | Formel        = <math>R_\infty = \frac{\alpha^2 m_\mathrm e c}{2 h}</math><br> <math>\alpha</math> – [[Feinstrukturkonstante]]<br> <math>m_\mathrm e</math> – [[Elektronenmasse]]<br> <math>c</math> – [[Lichtgeschwindigkeit]]<br> <math>h</math> – [[Plancksches Wirkungsquantum]]
  | Anmerkung    = Quelle SI-Wert: [[CODATA]]&nbsp;2014 ([http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd Direktlink])
  | Anmerkung    = Quelle SI-Wert: [[CODATA]]&nbsp;2018 ([https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd Direktlink])
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Die '''Rydberg-Konstante''' <math>R_\infty</math> ist eine nach [[Johannes Rydberg]] benannte [[Naturkonstante]]. Sie tritt in der [[Rydberg-Formel]] auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von [[Atomspektroskopie|Atomspektren]]. Ihr Wert ist die als [[Wellenzahl]] ausgedrückte [[Ionisierungsenergie]] des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher [[Kernmasse]], daher der Index <math>\infty</math>).
Die '''Rydberg-Konstante''' <math>R_\infty</math> ist eine nach [[Johannes Rydberg]] benannte [[Naturkonstante]]. Sie tritt in der [[Rydberg-Formel]] auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von [[Atomspektroskopie|Atomspektren]]. Ihr Wert ist die als [[Wellenzahl]] ausgedrückte [[Ionisierungsenergie]] des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher [[Kernmasse]], daher der Index <math>\infty</math>).


Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:<ref>{{internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2015-08-06}} Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:<ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>


:<math>R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, 508 \,(65)\,\mathrm{m}^{-1}.</math>
:<math>R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, 160(21)\,\mathrm{m}^{-1}.</math>


Die relative [[Committee_on_Data_for_Science_and_Technology #Standardabweichung_und_Standardunsicherheit|Standardunsicherheit]] beträgt 5,9&nbsp;·&nbsp;10<sup>−12</sup>. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.
Die relative [[Committee on Data for Science and Technology #Standardabweichung und Standardunsicherheit|Standardunsicherheit]] beträgt 1,9&nbsp;·&nbsp;10<sup>−12</sup>. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.


== Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten ==
== Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten ==
Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der [[Feinstrukturkonstante]] ''α'' und der [[Compton-Wellenlänge]] ''&lambda;''<sub>C,e</sub> eines [[Elektron]]s nach
Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der [[Feinstrukturkonstante]] ''α'' und der [[Compton-Wellenlänge]] ''&lambda;''<sub>C,e</sub> eines [[Elektron]]s nach


:<math>R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_{C,e}}
:<math>R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_\mathrm{C,e}}
                 = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{m_e c}{h}
                 = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{m_\mathrm e c}{h}
                 = \frac{m_e e^4}{8 c \varepsilon_0^2 h^3}</math>
                 = \frac{m_\mathrm e e^4}{8 c \varepsilon_0^2 h^3}
                = \frac\alpha{4\pi a_0}
</math>


mit
mit
* <math>m_e</math> der Masse des Elektrons
* <math>m_\mathrm e</math> der Masse des Elektrons
* <math>c</math> der [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>c</math> der [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>h</math> dem [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]]
* <math>h</math> dem [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]]
* <math>e</math> der [[Elementarladung]]
* <math>e</math> der [[Elementarladung]]
* <math>\varepsilon_0</math> der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]].
* <math>\varepsilon_0</math> der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]]
* <math>a_0</math> dem [[Bohrscher Radius|bohrschen Radius]].


== Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie ==
== Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie ==
Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:<ref>{{internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2015-08-06}} Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref><ref>{{internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2015-08-06}} Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>
Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:<ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref><ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>


* Rydberg-Frequenz: <math>R = c \,R_\infty  = 3{,}289\;841\;960\;355\;\left(19\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}</math>
* Rydberg-Frequenz: <math>R = c \,R_\infty  = 3{,}289\,841\,960\,2508(64) \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz}</math>
* Rydberg-Energie: <math>R_y = h \,R = h \,c \,R_\infty = 13{,}605\;693\;009\left(84\right) \ \mathrm{eV} = 1 \ \mathrm{Ry}.</math>
* Rydberg-Energie: <math>R_y = h \,R = h \,c \,R_\infty = 2{,}179 872 361 1035(42) \cdot 10^{-18} \,\mathrm{J} = 13{,}605\,693\,122\,994(26) \, \mathrm{eV} = 1 \, \mathrm{Ry}.</math>


Der konkrete Wert der Rydberg-Energie <math>R_y</math> wird ''ein Rydberg'' genannt, damit wird ''das Rydberg'' als [[Maßeinheit]] für Energien verwendbar.
Der konkrete Wert der Rydberg-Energie <math>R_y</math> wird ''ein Rydberg'' genannt; damit wird ''das Rydberg'' als [[Maßeinheit]] für Energien verwendbar.


== Herleitung ==
== Herleitung ==
Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante <math>R_\infty</math> konnte im Rahmen des [[Bohrsches_Atommodell#Mathematische_Formulierung|Bohrschen Atommodells]] gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im [[Wasserstoffproblem]].
Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante <math>R_\infty</math> konnte im Rahmen des [[Bohrsches Atommodell#Mathematische Formulierung|Bohrschen Atommodells]] gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im [[Wasserstoffproblem]].


In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:
In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:


:<math>
:<math>
E_n = -\frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2}
E_n = -\frac{m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2}
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Aus der Differenz zweier Energieniveaus
Aus der Differenz zweier Energieniveaus


:<math> \Delta E = \frac{ m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)</math>
:<math> \Delta E = -\frac{ m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)</math>


lässt sich mit
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die [[Wellenzahl]] des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu
die [[Wellenzahl]] des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu


:<math> \frac{1}{ \lambda} = \frac{ m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right).</math>
:<math> \frac{1}{ \lambda} = \frac{ m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right).</math>


Der Vergleich mit der [[Rydberg-Formel]] zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch
Der Vergleich mit der [[Rydberg-Formel]] zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch


:<math> R_\infty = \frac{ m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}.</math>
:<math> R_\infty = \frac{ m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}.</math>
 
Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==

Aktuelle Version vom 24. Oktober 2021, 08:37 Uhr

Physikalische Konstante
Name Rydberg-Konstante
Formelzeichen $ R_{\infty } $
Wert
SI 1.0973731568160(21)e7 $ \textstyle {\frac {1}{\mathrm {m} }} $
Unsicherheit (rel.) 1.9e-12
Bezug zu anderen Konstanten
$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}} $
$ \alpha $ – Feinstrukturkonstante
$ m_{\mathrm {e} } $ – Elektronenmasse
$ c $ – Lichtgeschwindigkeit
$ h $ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index $ \infty $).

Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:[1]

$ R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}. $

Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10−12. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λC,e eines Elektrons nach

$ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {C,e} }}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{\mathrm {e} }c}{h}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8c\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}} $

mit

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:[2][3]

  • Rydberg-Frequenz: $ R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz} $
  • Rydberg-Energie: $ R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=2{,}1798723611035(42)\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} =13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} . $

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $ R_{y} $ wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.

In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:

$ E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}} $

Aus der Differenz zweier Energieniveaus

$ \Delta E=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right) $

lässt sich mit

$ \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }} $

die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu

$ {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right). $

Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch

$ R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}. $

Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.

Einzelnachweise

  1. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
  2. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
  3. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
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