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* <math>a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3)</math> für die [[Kovarianz (Physik)|kontravariante]] | * <math>a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3)</math> für die [[Kovarianz (Physik)|kontravariante]] | ||
* <math>a_\mu = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a^0, -a^1 ,-a^2, -a^3)</math> für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. ''(Details zu kontra- und kovarianten Vektoren | * <math>a_\mu = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a^0, -a^1 ,-a^2, -a^3)</math> für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. ''(Details zu [[Vierervektor#Ko- und kontravariante Vektoren|kontra- und kovarianten]] Vektoren [[Vierervektor#Ko- und kontravariante Vektoren|↓]])'' | ||
Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen, während lateinische Indizes nur die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten durchlaufen. Dabei werden in der [[Relativitätstheorie]] bevorzugt die Buchstaben <math>\mu,\nu</math> geschrieben. | Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen, während lateinische Indizes nur die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten durchlaufen. Dabei werden in der [[Relativitätstheorie]] bevorzugt die Buchstaben <math>\mu,\nu</math> geschrieben. | ||
Hierbei wurde die Metrik des | Hierbei wurde die Metrik des [[Minkowskiraum]]s der speziellen Relativitätstheorie benutzt und der zugehörige [[Metrischer Tensor|metrische Tensor]] <math>\eta_{\mu \nu}</math>, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der (ortsabhängige) metrische Tensor <math>g_{\mu \nu}</math> zu wählen. | ||
== Ortsvektor == | == Ortsvektor == | ||
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:<math>x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf x)</math>. | :<math>x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf x)</math>. | ||
Dass <math>x^\mu</math> ein kontravarianter Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer [[orthonormal]]en [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des | Dass <math>x^\mu</math> ein kontravarianter Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer [[orthonormal]]en [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Minkowskiraums ist und sich dementsprechend bei Basiswechsel kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation ändert. | ||
In der [[Metrischer Tensor|Metrik]] der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der drei Raumkoordinaten: | In der [[Metrischer Tensor|Metrik]] der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der drei Raumkoordinaten: | ||
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:<math>p^\mu\ =\ m\ u^\mu = (\gamma\ m\ c,\ \gamma\ m\ \mathbf v),</math> | :<math>p^\mu\ =\ m\ u^\mu = (\gamma\ m\ c,\ \gamma\ m\ \mathbf v),</math> | ||
wobei <math>m</math> die [[Masse (Physik)| | wobei <math>m</math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des Körpers ist. Im Vergleich mit der [[Newtonsche Gesetze|Newtonschen Mechanik]] wird die Kombination <math>\gamma m</math> zuweilen als „dynamisch zunehmende Masse“ interpretiert und <math>m</math> als „Ruhemasse“ bezeichnet, was allerdings leicht zu falschen Schlussfolgerungen durch eine hier unangemessene klassische Betrachtungsweise führen kann. Im konsequenten Vierer[[kalkül]] ohne Bezug auf die nicht-relativistische Physik ist nur die koordinatenunabhängige Masse <math>m</math> von praktischer Bedeutung. | ||
Mit der [[Äquivalenz von Masse und Energie]] <math>E\ =\ \gamma\ m\ c^2</math> kann der Viererimpuls geschrieben werden als | Mit der [[Äquivalenz von Masse und Energie]] <math>E\ =\ \gamma\ m\ c^2</math> kann der Viererimpuls geschrieben werden als | ||
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\left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} | \left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} | ||
\end{pmatrix}</math>, | \end{pmatrix}</math>, | ||
wobei <math>\mathbf u = \gamma \mathbf v</math> der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der | wobei <math>\mathbf u = \gamma \mathbf v</math> der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der Minkowskikraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit <math>\gamma</math> multipliziert ist. | ||
Die durch die Beschleunigung mit <math>K^\mu</math> übertragene [[Leistung (Physik)|Leistung]] ist <math>c K^0</math>. | Die durch die Beschleunigung mit <math>K^\mu</math> übertragene [[Leistung (Physik)|Leistung]] ist <math>c K^0</math>. | ||
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:<math>\mathbf F = \gamma m\mathbf a</math>. | :<math>\mathbf F = \gamma m\mathbf a</math>. | ||
Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ [[ | Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ [[Masse (Physik) #Relativistische Masse|relativistischen Masse]] für den Term <math>\gamma m</math> ist daher im Vergleich mit der [[Newtonsche Axiome#Zweites newtonsches Gesetz|Newton’schen Bewegungsgleichung]] missverständlich. Denn für beliebige Raumrichtungen ist der Zusammenhang zwischen den räumlichen Größen <math>\mathbf F</math> und <math>\mathbf a</math> zwar [[Lineare Abbildung|linear]], aber keine einfache Proportionalität. | ||
== Ko- und kontravariante Vektoren == | == Ko- und kontravariante Vektoren == | ||
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mit der üblichen [[Minkowski-Metrik]] der SRT: | mit der üblichen [[Minkowski-Metrik]] der SRT: | ||
:<math>\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1) = \eta^{\mu \nu}</math> | |||
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die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor <math>a </math> zugeordnet ist. | die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor <math>a </math> zugeordnet ist. | ||
Dabei wird bei den | Dabei wird bei den Vierervektorindizes die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Das innere Produkt zweier Vierervektoren im Minkowskiraum ist gegeben durch: | ||
<math>a_{\mu} b^{\mu} = | :<math>a_{\mu} b^{\mu} = \eta_{\mu \nu} a^{\nu} b^{\mu} = a_0 b_0 - a_1 b_1 -a_2 b_2 - a_3 b_3</math> | ||
Beispielsweise sind die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer Funktion <math>f(x)</math> die Komponenten eines kovarianten Vektors. | Beispielsweise sind die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer Funktion <math>f(x)</math> die Komponenten eines kovarianten Vektors. | ||
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mit | mit | ||
:<math>f^\prime(x) = f(\Lambda^{-1} \, x)</math> | |||
Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient: | Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient: | ||
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* [[Torsten Fließbach|Torsten Fliessbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14331-2 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie). | * [[Torsten Fließbach|Torsten Fliessbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14331-2 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie). | ||
* [[Walter Greiner]]: ''Theoretische Physik.'' Band 3a: Walter Greiner, [[Johann Rafelski]]: ''Spezielle Relativitätstheorie.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4. | * [[Walter Greiner]]: ''Theoretische Physik.'' Band 3a: Walter Greiner, [[Johann Rafelski]]: ''Spezielle Relativitätstheorie.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4. | ||
* [[Reinhard Meinel]]: ''Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie für Bachelorstudenten.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58966-3. | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* Norbert Dragon [ | * Norbert Dragon [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/relativ.pdf Geometrie der Relativitätstheorie] (PDF; 2,4 MB). | ||
[[Kategorie:Relativitätstheorie]] | [[Kategorie:Relativitätstheorie]] |
Ein Vierervektor, ein Begriff der Relativitätstheorie, ist ein Vektor in einem reellen, vierdimensionalen Raum mit einem indefiniten Längenquadrat. Beispielsweise sind die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit die Komponenten eines Vierervektors, ebenso die Energie und der Impuls eines Teilchens.
In zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen lassen sich die Komponenten der beiden Vierervektoren durch eine Lorentz-Transformation ineinander überführen.
Man verwendet die Abkürzungen
Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen, während lateinische Indizes nur die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten durchlaufen. Dabei werden in der Relativitätstheorie bevorzugt die Buchstaben
Hierbei wurde die Metrik des Minkowskiraums der speziellen Relativitätstheorie benutzt und der zugehörige metrische Tensor
Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate
Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist
Dass
In der Metrik der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte Vorzeichen der drei Raumkoordinaten:
Die Metrik hat also die Signatur (+ − − −) oder (− + + +). Insbesondere in Texten zur speziellen Relativitätstheorie wird überwiegend die erste Signatur verwendet, dies ist aber nur eine Konvention und variiert je nach Autor.
Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.
Der Vierervektor
mit der Eigenzeit
mit dem Lorentzfaktor
Daraus folgt für die Vierergeschwindigkeit:
Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu
Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert als
wobei
Mit der Äquivalenz von Masse und Energie
mit dem relativistischen räumlichen Impuls
Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.
Aus dem Quadrat der Norm des Viererimpulses
aus der eine zeit- und ortsunabhängige Hamilton-Funktion für freie, relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.
Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit
Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu
Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten
Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis
Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor
kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man findet, dass
ist. Es folgt
und somit insgesamt
Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowskikraft genannt, analog zur entsprechenden newtonschen Kraft definiert werden:
Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.
Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft
mit dem räumlichen Teil
In einem beliebigen Inertialsystem gilt
wobei
Die durch die Beschleunigung mit
In dem Spezialfall, dass eine Newton’sche Kraft
Für räumliche Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung folgt hingegen
Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ relativistischen Masse für den Term
Die Komponenten eines kontravarianten Vierervektors
Man schreibt seine Komponenten mit oben stehenden Zahlen:
Die Komponenten eines kovarianten Vierervektors folgen dem kontragredienten (entgegengesetzten) Transformationsgesetz:
Man schreibt seine Komponenten mit unten stehenden Zahlen:
Die beiden Transformationsgesetze sind nicht gleich, aber äquivalent, denn definitionsgemäß erfüllen sie:
mit der üblichen Minkowski-Metrik der SRT:
Daher ergibt
die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor
Dabei wird bei den Vierervektorindizes die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Das innere Produkt zweier Vierervektoren im Minkowskiraum ist gegeben durch:
Beispielsweise sind die partiellen Ableitungen einer Funktion
Lorentztransformationen bilden
und definieren die transformierte Funktion
mit
Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient: