Analogie elektrischer und magnetischer Größen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 19. November 2019, 23:04 Uhr

Die Analogie elektrischer und magnetischer Größen ist eine Folge der starken Symmetrie in den Maxwellschen Gleichungen zwischen den auftretenden elektrischen und magnetischen Größen. Diese Analogien sind für das Verstehen elektromagnetischer und elektrotechnischer Zusammenhänge und Erscheinungen hilfreich und werden in Lehrbüchern häufig angegeben.^[1]^[2]

So haben die Größen des stationären Strömungsfeldes eine starke Analogie zur Strömungsmechanik sowie zur Thermodynamik und sind recht anschaulich erklärbar (siehe auch Elektro-Hydraulische Analogie). Die Größen des elektrostatischen und des magnetischen Feldes sind eher abstrakt, können aber über die Analogie gut verstanden werden. Darüber hinaus wird der Unterschied zwischen elektrischem und magnetischem Feld (z. B. elektrische und magnetische Monopole, Lenzsche Regel) in den Analogien sehr deutlich.

	Elektrische Größen		Magnetische Größen
	Elektrostatisches Feld	Stationäres Strömungsfeld	Magnetisches Feld
Partikuläre Quellgröße	Elektrische Ladung $$ Q $$		keine Quellgröße bekannt (Fiktiver magnetischer Monopol)
Feldstärke	Elektrische Feldstärke ${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{Q}}$		Magnetische Feldstärke ${\vec {H}}$
Materialparameter	Permittivität $\varepsilon$	Spezifischer Leitwert / Widerstand $\sigma ={\frac {1}{\rho }}$	Permeabilität $\mu$
	Komplexe Permittivität $\varepsilon -{\text{j}}{\frac {\sigma }{\omega }}$		Permeabilität $\mu$
Flussdichtegröße	Elektrische Flussdichte ${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}$	Stromdichte ${\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}$	Magnetische Flussdichte ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$
Flussgröße Fluss	Elektrischer Fluss ${\mathit {\Psi }}=\int \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$	Strom (Ladungsfluss) $i=\int \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$	Magnetischer Fluss^{[* 1]} $\Phi =\int \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$
Fluss durch Volumen	Umfasste Ladung $\oint \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}={{Q}_{umfasst}}$	Integraler Knotensatz $\oint \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}=0$	Integraler magnetischer Knotensatz $\oint \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}=0$
Knotenpunktsatz	1. Kirchhoffsches Gesetz $\sum \limits _{Knoten}{i}=0,\ \ \ \ i=\int \limits _{A}{\left({\vec {J}}+{\frac {{\text{d}}{\vec {D}}}{{\text{d}}t}}\right)}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$		Magnetischer Knotenpunktsatz $\sum \limits _{Knoten}{\Phi }=0$
Integrale Feldstärkegrößen	Elektrische Spannung $u=\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$		Magnetische Spannung ${{V}_{m}}=\int \limits _{s}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$
Potential	Elektrisches Potential ${{\varphi }_{P}}=\int \limits _{P}^{\operatorname {O} }{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$		Magnetisches Potential ${{V}_{P}}=\int \limits _{P}^{\operatorname {O} }{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$
Integrale Quellgröße	Elektrische Quellspannung (Induktionsgesetz) ${{u}_{0}}=\oint \limits _{(A)}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{A}{{\frac {{\text{d}}{\vec {B}}}{{\text{d}}t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$		Magnetische Quellspannung (Durchflutung) $\Theta =\oint \limits _{(A)}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=\int \limits _{A}{\left({\vec {J}}+{\frac {{\text{d}}{\vec {D}}}{{\text{d}}t}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$
Maschensätze	2. Kirchhoffsches Gesetz $\sum \limits _{Masche}{u}=\sum \limits _{Masche}{{u}_{0}}$		Magnetischer Maschensatz $\sum \limits _{Masche}{{V}_{m}}=\sum \limits _{Masche}{\Theta }$
Energiedichte	Elektrische Energiedichte $w={\frac {DE}{2}}$	Verlustleistungsdichte ${{p}_{V}}=SE$	Magnetische Energiedichte $w={\frac {BH}{2}}$
Feldenergie	Elektrische Feldenergie $W={\frac {Qu}{2}}$		Magnetische Feldenergie^{[* 1]} $W={\frac {\Psi i}{2}}$
Elektrotechnisches Bauelement	Kondensator	Widerstand	Induktivität / Spule
Eigenschaft	Kapazität	Widerstand	Induktivität
Definitionsgleichung	Kapazität $C={\frac {Q}{u}}$	Leitwert / Widerstand $G={\frac {i}{u}}={\frac {1}{R}}$	Induktivität^{[* 1]} $L={\frac {\Psi }{i}}={\frac {N\Phi }{i}}$
Bemessungsgleichung aus Feldgrößen	$C={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}}$	$G={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}}$	$L={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}}$
Bemessungsgleichungen für homogenes Feld	Kapazität $C=\varepsilon {\frac {A}{l}}$	Elektrischer Leitwert / Widerstand $G=\sigma {\frac {A}{l}}={\frac {1}{R}}$	Induktivität / Magnetischer Widerstand^{[* 1]} $L={{N}^{2}}\mu {\frac {A}{l}}={\frac {{N}^{2}}{{R}_{m}}}$
		Widerstand $R=\rho {\frac {l}{A}}={\frac {u}{i}}={\frac {1}{G}}$	Magnetischer Widerstand ${{R}_{m}}={\frac {1}{\mu }}{\frac {l}{A}}={\frac {{V}_{m}}{\Phi }}={\frac {{N}^{2}}{L}}$
Strom-Spannungs-Beziehung	$i=C{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$	Ohmsches Gesetz $$ i=Gu $$	$u=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}$

Anmerkung

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Der magnetische Fluss ergibt sich durch Integration der Flussdichte über eine Fläche. Bei einer Spule mit einer Windung ist dies gerade die von der Windung umschlossene Fläche. Die Fläche bei Spulen mit mehreren Windungen ist eigentlich eine Schrauben- oder Wendelfläche. Da diese Windungen meist von ein und demselben magnetischen Fluss durchsetzt sind, werden sie als $$ N $$ Einzelwindungen betrachtet und in der Elektrotechnik der verkettete magnetische Fluss definiert. Es ergeben sich damit, in Übereinstimmung mit den meisten Lehrbüchern, die zusätzlichen Parameter $$ N $$ bzw. ${{N}^{2}}$ . Für eine Windung oder bei eigentlich korrekter Berücksichtigung der dreidimensionalen Leitergeometrie in einer Spule kann der verkettete Fluss $\Psi$ durch den magnetischen Fluss $\Phi$ ersetzt werden und $$ N=1 $$ (siehe auch Magnetischer Fluss).

Einzelnachweise

↑ K. Lunze: Einführung in die Elektrotechnik - Lehrbuch. Verlag Technik, 1988, ISBN 3-341-00504-8.
↑ E. Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik, 2000, ISBN 978-3-341-01241-3.

[Windungen-3] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Der magnetische Fluss ergibt sich durch Integration der Flussdichte über eine Fläche. Bei einer Spule mit einer Windung ist dies gerade die von der Windung umschlossene Fläche. Die Fläche bei Spulen mit mehreren Windungen ist eigentlich eine Schrauben- oder Wendelfläche. Da diese Windungen meist von ein und demselben magnetischen Fluss durchsetzt sind, werden sie als $$ N $$ Einzelwindungen betrachtet und in der Elektrotechnik der verkettete magnetische Fluss definiert. Es ergeben sich damit, in Übereinstimmung mit den meisten Lehrbüchern, die zusätzlichen Parameter $$ N $$ bzw. ${{N}^{2}}$ . Für eine Windung oder bei eigentlich korrekter Berücksichtigung der dreidimensionalen Leitergeometrie in einer Spule kann der verkettete Fluss $\Psi$ durch den magnetischen Fluss $\Phi$ ersetzt werden und $$ N=1 $$ (siehe auch Magnetischer Fluss).

[Lunze-1] K. Lunze: Einführung in die Elektrotechnik - Lehrbuch. Verlag Technik, 1988, ISBN 3-341-00504-8.

[Philippow-2] E. Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik, 2000, ISBN 978-3-341-01241-3.

[1]

[2]

[* 1]

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 |[[Permittivität]]
 <math>\varepsilon</math>
-|[[Elektrische Leitfähigkeit|Spezifischer Leitwert]]
+|Spezifischer [[Elektrische Leitfähigkeit|Leitwert]] / [[Spezifischer Widerstand|Widerstand]]
-<math>\sigma</math>
+<math>\sigma = \frac{1}{\rho}</math>
 |[[Permeabilität (Magnetismus)|Permeabilität]]
 <math>\mu</math>
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 [[Fluss (Physik)|Fluss]]
 |[[Elektrischer Fluss]]
-<math>\Psi =\int\limits_{A}{\vec{D}\cdot \text{d}\vec{A}}</math>
+<math>\mathit\Psi =\int\limits_{A}{\vec{D}\cdot \text{d}\vec{A}}</math>
 |[[Elektrischer Strom|Strom]] (Ladungsfluss)
 <math>i=\int\limits_{A}{\vec{J}\cdot \text{d}\vec{A}}</math>
-|[[Magnetischer Fluss]]<ref group="*" name="Windungen">Der magnetische Fluss ergibt sich durch Integration der Flussdichte über eine Fläche. Bei einer Spule mit einer Windung ist dies gerade die von der Windung umschlossene Fläche. Die Fläche bei Spulen mit mehreren Windungen ist eigentlich eine Schrauben- oder Wendelfläche. Da diese Windungen meist von ein und demselben magnetischen Fluss durchsetzt sind, werden sie als <math>N</math> Einzelwindungen betrachtet und in der Elektrotechnik der [[Magnetischer Fluss|verkettete magnetische Fluss]] definiert. Es ergeben sich damit, in Übereinstimmung mit den meisten Lehrbüchern, die zusätzlichen Parameter <math>N</math> bzw. <math>{{N}^{2}}</math>. Für eine Windung oder bei eigentlich korrekter Berücksichtigung der dreidimensionalen Leitergeometrie in einer Spule kann der verkettete Fluss <math>\Psi</math> durch den magnetischen Fluss <math>\Phi</math> ersetzt werden und <math>N=1</math> (siehe auch [[Magnetischer Fluss]]).</ref>
+|[[Magnetischer Fluss]]<ref group="*" name="Windungen">Der magnetische Fluss ergibt sich durch Integration der Flussdichte über eine Fläche. Bei einer Spule mit einer Windung ist dies gerade die von der Windung umschlossene Fläche. Die Fläche bei Spulen mit mehreren Windungen ist eigentlich eine Schrauben- oder [[Wendelfläche]]. Da diese Windungen meist von ein und demselben magnetischen Fluss durchsetzt sind, werden sie als <math>N</math> Einzelwindungen betrachtet und in der Elektrotechnik der [[Magnetischer Fluss|verkettete magnetische Fluss]] definiert. Es ergeben sich damit, in Übereinstimmung mit den meisten Lehrbüchern, die zusätzlichen Parameter <math>N</math> bzw. <math>{{N}^{2}}</math>. Für eine Windung oder bei eigentlich korrekter Berücksichtigung der dreidimensionalen Leitergeometrie in einer Spule kann der verkettete Fluss <math>\Psi</math> durch den magnetischen Fluss <math>\Phi</math> ersetzt werden und <math>N=1</math> (siehe auch [[Magnetischer Fluss]]).</ref>
 <math>\Phi =\int\limits_{A}{\vec{B}\cdot \text{d}\vec{A}}</math>
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 | Elektrische Energiedichte
 <math>w=\frac{DE}{2}</math>
-|
+| Verlustleistungsdichte
+<math>{{p}_{V}}=SE</math>
 | Magnetische Energiedichte
 <math>w=\frac{BH}{2}</math>
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 | <math>L=\frac{\int\limits_{A}{\vec{B}\cdot \text{d}\vec{A}}}{\int\limits_{s}{\vec{H}\cdot \text{d}\vec{s}}}</math>
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-| Bemessungsgleichung
+| Bemessungsgleichungen
-für [[Homogenes Feld|homogenes Feld]]
+für [[homogenes Feld]]
 | [[Elektrische Kapazität|Kapazität]]
 <math>C=\varepsilon \frac{A}{l}</math>
 | [[Elektrischer Leitwert]] / [[Elektrischer Widerstand|Widerstand]]
-<math>G=\kappa \frac{A}{l}=\frac{1}{R}</math>
+<math>G=\sigma \frac{A}{l}=\frac{1}{R}</math>
 | [[Induktivität]] / [[Magnetischer Widerstand]]<ref group="*" name="Windungen" />
 <math>L={{N}^{2}}\mu \frac{A}{l}=\frac{{{N}^{2}}}{{{R}_{m}}}</math>
 |-
-| Widerstände
+|
 |
 | [[Elektrischer Widerstand|Widerstand]]
-<math>\frac{1}{R}=\kappa \frac{A}{l}=\frac{i}{u}</math>
+<math>R=\rho \frac{l}{A}=\frac{u}{i}=\frac{1}{G}</math>
 | [[Magnetischer Widerstand]]
-<math>\frac{1}{{{R}_{m}}}=\mu \frac{A}{l}=\frac{\Phi }{{{V}_{m}}}</math>
+<math>{{R}_{m}}=\frac{1}{\mu}\frac{l}{A}=\frac{{{V}_{m}}}{\Phi}=\frac{{{N}^{2}}}{L}</math>
 |-
-| Strom-Spannungsbeziehung
+| Strom-Spannungs-Beziehung
 | <math>i=C\frac{\text{d}u}{\text{d}t}</math>
 | [[Ohmsches Gesetz]]