Analogie elektrischer und magnetischer Größen

Analogie elektrischer und magnetischer Größen

Die Analogie elektrischer und magnetischer Größen ist eine Folge der starken Symmetrie in den Maxwellschen Gleichungen zwischen den auftretenden elektrischen und magnetischen Größen. Diese Analogien sind für das Verstehen elektromagnetischer und elektrotechnischer Zusammenhänge und Erscheinungen hilfreich und werden in Lehrbüchern häufig angegeben.[1][2]

So haben die Größen des stationären Strömungsfeldes eine starke Analogie zur Strömungsmechanik sowie zur Thermodynamik und sind recht anschaulich erklärbar (siehe auch Elektro-Hydraulische Analogie). Die Größen des elektrostatischen und des magnetischen Feldes sind eher abstrakt, können aber über die Analogie gut verstanden werden. Darüber hinaus wird der Unterschied zwischen elektrischem und magnetischem Feld (z. B. elektrische und magnetische Monopole, Lenzsche Regel) in den Analogien sehr deutlich.

Elektrische Größen Magnetische Größen
Elektrostatisches Feld Stationäres Strömungsfeld Magnetisches Feld
Partikuläre Quellgröße Elektrische Ladung

$ Q $

keine Quellgröße bekannt

(Fiktiver magnetischer Monopol)

Feldstärke Elektrische Feldstärke

$ {\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{Q}} $

Magnetische Feldstärke

$ {\vec {H}} $

Materialparameter Permittivität

$ \varepsilon $

Spezifischer Leitwert / Widerstand

$ \sigma ={\frac {1}{\rho }} $

Permeabilität

$ \mu $

Komplexe Permittivität

$ \varepsilon -{\text{j}}{\frac {\sigma }{\omega }} $

Permeabilität

$ \mu $

Flussdichtegröße Elektrische Flussdichte

$ {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}} $

Stromdichte

$ {\vec {J}}=\sigma {\vec {E}} $

Magnetische Flussdichte

$ {\vec {B}}=\mu {\vec {H}} $

Flussgröße

Fluss

Elektrischer Fluss

$ {\mathit {\Psi }}=\int \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}} $

Strom (Ladungsfluss)

$ i=\int \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}} $

Magnetischer Fluss[* 1]

$ \Phi =\int \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}} $

Fluss durch Volumen Umfasste Ladung

$ \oint \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}={{Q}_{umfasst}} $

Integraler Knotensatz

$ \oint \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}=0 $

Integraler magnetischer Knotensatz

$ \oint \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}=0 $

Knotenpunktsatz 1. Kirchhoffsches Gesetz

$ \sum \limits _{Knoten}{i}=0,\ \ \ \ i=\int \limits _{A}{\left({\vec {J}}+{\frac {{\text{d}}{\vec {D}}}{{\text{d}}t}}\right)}\cdot {\text{d}}{\vec {A}} $

Magnetischer Knotenpunktsatz

$ \sum \limits _{Knoten}{\Phi }=0 $

Integrale

Feldstärkegrößen

Elektrische Spannung

$ u=\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}} $

Magnetische Spannung

$ {{V}_{m}}=\int \limits _{s}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}} $

Potential Elektrisches Potential

$ {{\varphi }_{P}}=\int \limits _{P}^{\operatorname {O} }{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}} $

Magnetisches Potential

$ {{V}_{P}}=\int \limits _{P}^{\operatorname {O} }{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}} $

Integrale Quellgröße Elektrische Quellspannung (Induktionsgesetz)

$ {{u}_{0}}=\oint \limits _{(A)}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{A}{{\frac {{\text{d}}{\vec {B}}}{{\text{d}}t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}} $

Magnetische Quellspannung (Durchflutung)

$ \Theta =\oint \limits _{(A)}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=\int \limits _{A}{\left({\vec {J}}+{\frac {{\text{d}}{\vec {D}}}{{\text{d}}t}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}} $

Maschensätze 2. Kirchhoffsches Gesetz

$ \sum \limits _{Masche}{u}=\sum \limits _{Masche}{{u}_{0}} $

Magnetischer Maschensatz

$ \sum \limits _{Masche}{{V}_{m}}=\sum \limits _{Masche}{\Theta } $

Energiedichte Elektrische Energiedichte

$ w={\frac {DE}{2}} $

Verlustleistungsdichte

$ {{p}_{V}}=SE $

Magnetische Energiedichte

$ w={\frac {BH}{2}} $

Feldenergie Elektrische Feldenergie

$ W={\frac {Qu}{2}} $

Magnetische Feldenergie[* 1]

$ W={\frac {\Psi i}{2}} $

Elektrotechnisches Bauelement Kondensator Widerstand Induktivität / Spule
Eigenschaft Kapazität Widerstand Induktivität
Definitionsgleichung Kapazität

$ C={\frac {Q}{u}} $

Leitwert / Widerstand

$ G={\frac {i}{u}}={\frac {1}{R}} $

Induktivität[* 1]

$ L={\frac {\Psi }{i}}={\frac {N\Phi }{i}} $

Bemessungsgleichung

aus Feldgrößen

$ C={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {D}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}} $ $ G={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {J}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}} $ $ L={\frac {\int \limits _{A}{{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}}{\int \limits _{s}{{\vec {H}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}}} $
Bemessungsgleichungen

für homogenes Feld

Kapazität

$ C=\varepsilon {\frac {A}{l}} $

Elektrischer Leitwert / Widerstand

$ G=\sigma {\frac {A}{l}}={\frac {1}{R}} $

Induktivität / Magnetischer Widerstand[* 1]

$ L={{N}^{2}}\mu {\frac {A}{l}}={\frac {{N}^{2}}{{R}_{m}}} $

Widerstand

$ R=\rho {\frac {l}{A}}={\frac {u}{i}}={\frac {1}{G}} $

Magnetischer Widerstand

$ {{R}_{m}}={\frac {1}{\mu }}{\frac {l}{A}}={\frac {{V}_{m}}{\Phi }}={\frac {{N}^{2}}{L}} $

Strom-Spannungs-Beziehung $ i=C{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}} $ Ohmsches Gesetz

$ i=Gu $

$ u=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}} $

Anmerkung

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Der magnetische Fluss ergibt sich durch Integration der Flussdichte über eine Fläche. Bei einer Spule mit einer Windung ist dies gerade die von der Windung umschlossene Fläche. Die Fläche bei Spulen mit mehreren Windungen ist eigentlich eine Schrauben- oder Wendelfläche. Da diese Windungen meist von ein und demselben magnetischen Fluss durchsetzt sind, werden sie als $ N $ Einzelwindungen betrachtet und in der Elektrotechnik der verkettete magnetische Fluss definiert. Es ergeben sich damit, in Übereinstimmung mit den meisten Lehrbüchern, die zusätzlichen Parameter $ N $ bzw. $ {{N}^{2}} $. Für eine Windung oder bei eigentlich korrekter Berücksichtigung der dreidimensionalen Leitergeometrie in einer Spule kann der verkettete Fluss $ \Psi $ durch den magnetischen Fluss $ \Phi $ ersetzt werden und $ N=1 $ (siehe auch Magnetischer Fluss).

Einzelnachweise

  1. K. Lunze: Einführung in die Elektrotechnik - Lehrbuch. Verlag Technik, 1988, ISBN 3-341-00504-8.
  2. E. Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Verlag Technik, 2000, ISBN 978-3-341-01241-3.