Coulombsches Gesetz

Das coulombsche Gesetz oder Coulomb-Gesetz ist die Basis der Elektrostatik. Es beschreibt die zwischen zwei Punktladungen wirkende Kraft.^[1] Es gilt auch für kugelsymmetrisch verteilte elektrische Ladungen, die räumlich getrennt sind.

Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach Vorzeichen der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem Gravitationsgesetz.

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem Superpositionsprinzip addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der elektrischen Influenz.

Coulomb-Kraft

Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.

Veranschaulichung der quadratischen Abnahme mit der Entfernung nach Martin Wagenschein

Torsionspendel von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte

Das coulombsche Gesetz wurde von Charles Augustin de Coulomb um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im Internationalen Einheitensystem, in skalarer Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

$ F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}} $,

Vektorform

Die vektorielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-Kraftfeld, dem eine Probeladung $ q_{1} $ im Feld einer zweiten Ladung $ q_{2} $ ausgesetzt ist, wie folgt:

$ {{\vec {F}}_{12}}({{\vec {r}}_{1}})={\frac {{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{\vec {e}}_{12}}{|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}{{|}^{2}}}} $

Hierbei sind

• $ {\vec {F}}_{12} $ ist die Kraft auf die Probeladung $ q_{1} $, hervorgerufen von der Ladung $ q_{2} $,
• $ {\vec {r}}_{1} $ und $ {\vec {r}}_{2} $ die Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte und
• $ {{\vec {e}}_{12}}={\frac {{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}}{|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}|}} $

der Einheitsvektor, der von $ q_{2} $ (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung $ q_{1} $ zeigt.

Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens, dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft $ {\vec {F}}_{12} $ in solchem Fall dieselbe Orientierung wie $ {\hat {\vec {r}}}_{12} $ besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft $ {\vec {F}}_{12} $ dann (analog zum newtonschen Gravitationsgesetz) die entgegengesetzte Orientierung von $ {\hat {\vec {r}}}_{12} $ besitzt.

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung $ q_{2} $ gelegt, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

$ {\vec {F}}_{12}({\vec {r}}_{1})=q_{1}\,{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\,|{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\ {\vec {r}}_{1} $.

Weiter ist dann

$ {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\,r^{3}}}\ {\vec {r}} $

der Vektor der Feldstärke des von der Zentralladung $ q_{2} $ erzeugten elektrischen Feldes an der Stelle $ {\vec {r}} $, d. h. im Abstand $ \ r $ vom Ursprung.

Wird die das Feld erzeugende Zentralladung $ q_{2} $ durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit der Ladungsverteilung $ \rho (r') $ ersetzt, tritt an die Stelle der eingangs gegebenen Formel für die Coulomb-Kraft auf die Probeladung $ q_{1} $ das Integral

$ {\vec {F}}_{12}({\vec {r}})=q_{1}\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {({\vec {r}}-{\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\ \mathrm {d} {\vec {r}}'\; $.

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

Coulomb-Konstante

Der in den obigen Gleichungen auftretende Term

$ k_{\mathrm {C} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {1}{4\pi }}\mu _{0}\,c^{2}\approx 8{,}987551787\cdot 10^{9}\,\mathrm {\frac {Vm}{As}} $

wird auch als Coulomb-Konstante bezeichnet. Dabei ist $ c $ die Lichtgeschwindigkeit. Da die magnetische Feldkonstante $ \mu _{0} $ fast genau den Wert $ {\textstyle 4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm {\frac {N}{A^{2}}} } $ hat (bis zur Neudefinition der SI-Einheiten 2019 galt der Wert exakt), hat $ {\textstyle k_{\mathrm {C} }} $ fast genau den Zahlenwert von $ c^{2}\cdot 10^{-7} $.

Form im CGS-System

In Gaußschen Einheiten und in anderen CGS-Einheiten wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, CGS-ESU und CGS-EMU unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von $ \mu _{0}: $

• Im CGS-ESU ist $ \mu _{0}=4\pi /c^{2} $. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert $ k_{\mathrm {C} }=1 $.
• Im CGS-EMU ist $ \mu _{0}=4\pi $. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert $ k_{\mathrm {C} }=c^{2} $.

Coulomb-Potential

Das elektrische Feld ist, solange keine zeitliche Änderung des magnetischen Felds auftritt, wirbelfrei und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von A nach B daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg (siehe auch: konservatives Kraftfeld). Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein Potential beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung Q wie folgt beschrieben werden kann:

$ \Phi (r)=-\int {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}+C $

Dabei wird die Integrationskonstante C typischerweise null, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der Spannungsabfall U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch Magnetfelder ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein Liénard-Wiechert-Potential.

Die potentielle elektrische Energie $ W_{\mathrm {pot} } $ ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

$ W_{\mathrm {pot} }(r)=-\int {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-q\,\int {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=q\,\Phi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\,Q}{r}}+C $

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, $ C $ also auch hier gleich null ist.

Coulomb-Kraft in einem Medium

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in homogenen, isotropen, linearen Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:

• Es ist elektrisch neutral.
• Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum gleichmäßig (homogen) aus.
• Die Polarisierbarkeit des Mediums ist richtungsunabhängig.
• Die Polarisierung ist proportional zum elektrischen Feld, das von den Ladungen erzeugt wird.

Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass $ \varepsilon _{0} $ durch $ \varepsilon =\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} } $ ersetzt wird:

$ F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}} $

Die relative Permittivität $ \varepsilon _{\mathrm {r} } $ ist bei isotropen Medien eine Materialkonstante, die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum $ \varepsilon _{\mathrm {r} }=1 $.

Literatur

• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.

Einzelnachweise