Kohärente Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha\rangle (vgl. auch kohärente Strahlung) sind quantenmechanische Zustände unbestimmter Teilchenzahl, meist bei Bosonen. Wie R.J. Glauber 1963 zeigte, lässt sich die elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten durch kohärente Zustände beschreiben. Nach ihm werden sie auch als Glauber-Zustände bezeichnet.
Kohärente Zustände kommen klassischen elektromagnetischen Wellen sehr nahe, weil der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke die Form einer klassischen elektromagnetischen Welle hat, unabhängig vom Erwartungswert der Teilchenzahl.
Misst man in einem kohärenten Zustand die Teilchenzahl jeweils in einem festen Zeitintervall, so erhält man Messwerte, die einer Poisson-Verteilung genügen.
Der kohärente Zustand wurde von Erwin Schrödinger entdeckt, als er nach einem Zustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators suchte, der dem des klassischen harmonischen Oszillators entspricht.[1] Der kohärente Zustand entspricht demnach einem gaußschen Wellenpaket, das im harmonischen Potential hin- und herläuft, ohne Orts- oder Impulsunschärfe zu verändern.
Wichtige Eigenschaften eines kohärenten Zustandes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha\rangle sind:
Viele dieser Eigenschaften lassen sich im Phasenraum veranschaulichen, der von den Quadraturen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_1 = \operatorname{Re}\left(\alpha\right) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X_2 = \operatorname{Im}\left(\alpha\right) aufgespannt wird (siehe Abbildung):
Der minimalen Unschärfe entspricht im Phasenraum die kleinstmöglichen Fläche, die ein Zustand mindestens ausfüllt. Der Kreis, der in der Abbildung einen kohärenten Zustand repräsentiert, hat somit eine Fläche von $ {\tfrac {\hbar }{2}} $. Die Zeitentwicklung des kohärenten Zustands entspricht einer Rotation des Kreises um den Ursprung des Phasenraums mit Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \dot\Phi .
Anstatt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta X_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta X_2 können auch Phasen- und Amplituden-Unschärfen verwendet werden (zweite Abbildung). Dabei ist der Erwartungswert des Teilchenzahloperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n :
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow |\alpha| = \sqrt{\bar{n}}
Diese Formulierung erklärt anschaulich das Schrotrauschen.
Der Nicht-Orthogonalität kohärenter Zustände entspricht eine Überlappung ihrer Flächen im Phasenraum. Denn anders als es die Abbildungen zunächst vermuten lassen, sind die Flächen nicht scharf begrenzt, sondern klingen gaußförmig ab. Der Kreisrand in den Abbildungen entspräche dann etwa der Halbwertsbreite.
Die Darstellung im Phasenraum hilft z. B. beim Vergleich von gequetschtem Licht mit kohärenten Zuständen. Dieses entspricht im Phasenraum einer Ellipse, die aus dem Kreis des kohärenten Zustands hervorgeht, indem eine der beiden Unsicherheiten verkleinert wird. Weil die Fläche im Phasenraum aber nicht kleiner werden kann, geht das „Quetschen“ mit einer entsprechend größeren Unsicherheit in der anderen Quadratur einher.
Ferner macht die Phasenraum-Darstellung den Effekt des Verschiebungsoperators $ \operatorname {D} (\alpha ) $ im Fockraum (s. u.) anschaulich klar.
Ein idealer kohärenter Zustand bei der quantenfeldtheoretischen Behandlung der Photonen, Elektronen etc. ist stets eine Überlagerung von Zuständen verschiedener Teilchenzahl, er enthält sogar (verschwindend geringe) Anteile beliebig hoher Teilchenzahl.
In Fock-Raum-Schreibweise (nach Wladimir Alexandrowitsch Fock) ergibt sich der kohärente Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha\rangle als unendliche Linearkombination von Zuständen fester Teilchenzahl (Fock-Zustände) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |n\rangle nach:
Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha eine beliebige nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohärenten Zustand vollständig definiert.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Besetzung von genau n Teilchen zu messen, ist:
Die Verteilung entspricht also der Poisson-Verteilung. Demnach ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\alpha|^2 der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohärenten Zustandes.
Der kohärente Zustand kann durch Anwendung eines unitären „Verschiebungsoperators“ $ {\hat {D}}(\alpha ) $ aus dem unbesetzten Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |0\rangle des Systems erzeugt werden (siehe Herleitung):
Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathit{\hat{a}^\dagger} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}\ die Auf- bzw. Absteigeoperatoren des Fock-Zustandes.
Die Übertragung in den Fockraum wurde von Roy J. Glauber entwickelt.
In der 1-Teilchen-Quantenmechanik versteht man unter einem kohärenten Zustand ein Gaußsches Wellenpaket mit reeller Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma^2 . Als weitere Parameter hat es den Erwartungswert q des Ortes und den Erwartungswert p des Impulses. Die normierte Wellenfunktion im Ortsraum in einer Raumdimension lautet:
Der entsprechende Ket-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |q,p\rangle ist definiert durch:
Die Unschärfen von Ort und Impuls sind beim Gaußschen Wellenpaket gegeben durch:
Das Unschärfeprodukt nimmt also den minimalen Wert an:
Auch umgekehrt folgt aus einem minimalen Unschärfeprodukt, dass die Wellenfunktion ein Gaußsches Wellenpaket ist.[2]
Im Limes $ \Delta q\to 0 $ wird das Wellenpaket zu einem Eigenzustand des Ortes, im Limes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta p \to 0 zu einem Eigenzustand des Impulses. Unter „klassischen“ Bedingungen, wenn sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta q als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta p als klein angesehen werden kann, ist das Gaußsche Wellenpaket näherungsweise ein gemeinsamer Eigenzustand von Ortsoperator und Impulsoperator:
Die Fehler sind von der Größenordnung der Unschärfen, denn als Maß für die Abweichung von der Eigenwertgleichung können gerade die Ausdrücke gelten, die die Unschärfen definieren (s. o.).
Jedes Wellenpaket lässt sich als Superposition von Gaußschen Wellenpaketen darstellen. Als Operatorgleichung formuliert (Zerlegung der Eins):
Dies kann man zeigen, indem man auf beiden Seiten das Matrixelement $ \langle x|\cdots |x'\rangle $ in der Ortsbasis bildet und auf der rechten Seite die Wellenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_{q,p} sowie die Fourierdarstellung der Deltafunktion benutzt.
Das Plancksche Wirkungsquantum wird auf diese Weise zur Bezugsgröße für klassische Phasenvolumina.
Mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation kann die klassische 1-Teilchen-Zustandssumme für die kanonische Gesamtheit in einfacher Weise aus der quantenmechanischen Zustandssumme[3]
hergeleitet werden. Wenn nämlich die Unschärfen von Ort und Impuls vernachlässigbar und somit die kohärenten Zustände gemeinsame Eigenzustände von Ort, Impuls und Hamiltonoperator sind, gilt:
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \operatorname{tr} \, |\phi\rangle \langle\psi| = \langle\psi|\phi\rangle benutzt wurde.
Eine genauere Argumentation mit oberen und unteren Schranken findet sich in[4].
Im Folgenden wird gezeigt, dass die kohärenten Zustände Eigenzustände des Vernichtungsoperators sind:
Die Fockzustände $ |n\rangle $ bilden ein vollständiges Orthonormalensystem, also kann man jeden Zustand nach ihnen entwickeln:
Nun betrachtet man die linke Seite der Eigenwertgleichung, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle . Zudem gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}|0\rangle=0 , weswegen der Laufindex der Summe nach dem zweiten Gleichheitszeichen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n=1 erhöht wird:
Das Vertauschen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat a und der unendlichen Summe (und damit einer Grenzwertbildung) ist keinesfalls trivial, denn $ {\hat {a}} $ ist selbst im Fall des harmonischen Oszillators ein unstetiger Operator. Im Fall des harmonischen Oszillators lässt sich dieser Schritt begründen, im Allgemeinen ist hier jedoch Vorsicht geboten!
Die rechte Seite der Eigenwertgleichung:
Aus der Gleichheit beider Seiten gewinnt man eine Rekursionsbeziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{n+1}\sqrt{n+1}=b_{n}\alpha
Nun nutzt man die Normierungsbedingung der kohärenten Zustände aus, um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_0 zu bestimmen:
Radizieren liefert $ b_{0} $, wobei eine komplexe Phase zu null und somit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_0 reell gewählt wird:
Dies ergibt eingesetzt in obige Entwicklung die Darstellung der kohärenten Zustände:
Nutzt man noch aus, dass die Fockzustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |n\rangle sich durch Anwendung des Erzeugungsoperators aus dem Vakuumzustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |0\rangle ergeben $ \left|n\right\rangle =(n!)^{-1/2}\,({\hat {a}}^{\dagger })^{n}\left|0\right\rangle $ und dann noch dass die Anwendung des Vernichtungsoperators auf den Vakuumzustand eine Null produziert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{a}|0\rangle=0 bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{-\alpha^{*}\hat{a}}\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle , dann erhält man:
Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{\hat{A}}e^{\hat{B}}=e^{\hat{A}+\hat{B}}e^{[\hat{A},\hat{B}]/2} kann man das Produkt der beiden Exponentialfunktionen zusammenfassen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\hat{a}^{\dagger},\hat{a}]=-1 :
Somit
