Teilchen auf dem Ring

Das Teilchen auf dem Ring ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik, welches zur Quantisierung der Energie führt. Es ist dem Teilchen im Kasten sehr ähnlich und wird daher auch als „Teilchen im kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig potentialfrei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit Polar- als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen: die Wellenfunktion des Teilchens hängt nicht vom Abstand $ r $ zum Mittelpunkt ab (weil es sich auf einem konstanten Radius $ \rho $ bewegt), sondern nur vom Polarwinkel $ \phi $.

Mathematische Betrachtung

Um die Wellenfunktionen und die Energien der Zustände des Teilchens auf dem Ring zu finden, ist es nötig die stationäre Schrödingergleichung im gegebenen Potential zu lösen. Dieses ist gegeben durch

$ V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{wenn }}r=\rho \\\infty ,&{\text{sonst}}\end{cases}} $

Der winkelabhängige Anteil des Hamilton-Operators in Polarkoordinaten lässt sich als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H = - \frac{\hbar^2}{2m \rho^2}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\phi^2} + V_0

schreiben, wodurch sich die zu lösende Schrödingergleichung ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi''(\phi) = -\frac{2 m \rho^2}{\hbar^2}(E - V_0) \psi(\phi)

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, für die der Lösungsansatz lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_M(\phi) = \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi}

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = \frac{\sqrt{2 m(E - V_0)}}{\hbar}\rho

Durch Umformen erhält man die Energien des Teilchens auf dem Ring:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_M = \frac{M^2 \cdot \hbar^2}{ 2m \rho^2} + V_0 \quad M \in \mathbb Z

Dass $ M $ ganzzahlig sein muss, ergibt sich aus der Randbedingung, dass die Wellenfunktion nach einer Umdrehung auf dem Ring wieder dieselbe sein muss:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\phi) = \psi(\phi + 2\pi)

was zu folgender Bedingung führt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{alignat}{2} \Rightarrow \; & \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi} && = \alpha \cdot e^{\mathrm i M (\phi + 2 \pi)} \\ \Leftrightarrow \; & e^{\mathrm i M \phi} && = e^{\mathrm i M \phi} \cdot e^{2\pi \mathrm i M} \\ \Leftrightarrow \; & e^{2 \pi \mathrm i M} && = 1 . \end{alignat}

Dies ist nur erfüllt, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M eine ganze Zahl ist.

Um die Differentialgleichung (bis auf einen Phasenfaktor) eindeutig zu lösen (der Konvention nach wählt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \in \R^+ ), muss die Wellenfunktion noch normiert werden. Dies geschieht, indem man ihr Betragsquadrat über den gesamten Raum, von $ 0 $ bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2\pi , integriert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} 1 &= \int_0^{2 \pi} |\psi (\phi)|^2 \cdot \mathrm d \phi \\ \Leftrightarrow 1 &= \int_0^{2 \pi} \left| \alpha \cdot e^{\mathrm i M \phi} \right|^2 \cdot \mathrm d \phi \\ \Rightarrow 1&= \alpha^2 \cdot \int_0^{2 \pi} \underbrace{e^{\mathrm iM\phi} e^{-\mathrm iM\phi}}_{ = 1} \mathrm d \phi \\ \Leftrightarrow \alpha &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{align}

Somit lautet die Eigenfunktion des Hamiltonoperators für ein Teilchen auf dem Ring:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_M(\phi) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{\mathrm i M \phi} \quad M \in \mathbb Z, & \text{wenn } r = \rho \\ 0, & \text{sonst.} \end{cases}

Da Linearkombinationen von Eigenfunktionen zu demselben Energieeigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_M (d. h. hier: mit demselben Wert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M^2 ) ebenfalls Eigenfunktionen zu diesem Eigenwert sind, folgt (mit der Euler'schen Identität), dass man alternativ

$ \psi _{M}^{(1)}(\phi ):={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \cos {(M\phi )} $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_M^{(2)}(\phi) := \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sin{(M \phi)}

als entartete Eigenfunktionen zum Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_M, M\in \mathbb{N}_0 , wählen kann. Der geänderte Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \tfrac{1}{\sqrt{\pi}} \; \mathrm{statt} \; \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right) resultiert aus der Normierung der Wellenfunktionen.

Entartung

Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel auf das Konzept der Entartung. Da Zustände, bei denen sich $ M $ nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände, aber wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (+M)^2 = (-M)^2 dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie: die Zustände sind also – außer im Fall der trivialen Lösung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = 0 – 2-fach entartet. Stellt man die Wellenfunktionen reell mit trigonometrischen Funktionen dar, sind die beiden Eigenfunktionen zum entarteten Energieeigenwert der Sinus- und der Cosinus-Term.

Lösungsraum und Fourierreihe

Eine Operatorgleichung wie die Schrödinger-Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften für ihre Lösung (bspw. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Periodizität). Dadurch wird der Raum möglicher Lösungen (hier Wellenfunktionen) eingeschränkt. In der obigen Darstellung ist bspw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi \in L_2(0,L).

Unter der Annahme, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_t \in C^2_p(0,L) mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^2_p(0,L)\subset L_2(0,L) kann die Wellenfunktion mittels der Fourier-Reihe geschrieben werden

$ \psi _{t}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}(t)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}\forall x. $

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_n(t) die Fourierkoeffizienten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_n(t)=\int_{-L/2}^{L/2}\psi_t(x)e^{-i\frac{2\pi}{L}nx}dx.

Dann kann die Schrödinger-Gleichung zu einer Gleichung für die Fourier-Koeffizienten umgeschrieben als

$ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(i{\dot {\alpha }}_{n}(t)-{\frac {\hbar 2\pi ^{2}n^{2}}{mL^{2}}}\alpha _{n}(t)\right)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}=0 $

Über die Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten wird diese vereinfacht zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i\dot{\alpha}_n(t)-\frac{\hbar2\pi^2n^2}{mL^2}\alpha_n(t)=0.

Die Lösung hat dann die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_t(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n(t)~e^{-i\frac{2\pi^2\hbar}{mL^2}n^2t}~e^{i\frac{2\pi}{L}nx}.

Siehe auch

• Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
• Anharmonischer Oszillator

Literatur

• Lutz Zülicke: Molekulare Theoretische Chemie. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-00488-0, Kapitel 2: Grundbegriffe der Quantenmechanik, doi:10.1007/978-3-658-00489-7_2.