Elektrisches Potential: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. November 2021, 13:25 Uhr

Name

elektrisches Potential

elektrisches Potential

$φ, ϕ, Φ, V$

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	V	M L² T⁻³ I⁻¹
cgs	g^1/2·cm^1/2·s⁻¹	M^1/2 L^1/2 T⁻¹
Gauß (cgs)	Statvolt (statV)	M^1/2 L^1/2 T⁻¹
HLE (cgs)	Statvolt (statV)	M^1/2 L^1/2 T⁻¹
esE (cgs)	Statvolt (statV)	M^1/2 L^1/2 T⁻¹
emE (cgs)	Abvolt (abV)	M^1/2 L^1/2 T⁻¹
Planck	1	M L² T⁻² Q⁻¹

Das elektrische Potential, auch elektrisches Potenzial, $φ$ (griechischer Kleinbuchstabe Phi) ist eine physikalische Größe in der klassischen Elektrodynamik. Das elektrische Potential ist die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, Arbeit an einer elektrischen Ladung zu verrichten.

Auf eine Probeladung $q$ wirkt in einem elektrischen Feld die Coulombkraft. Wenn sich die Probeladung durch das elektrische Feld bewegt, wird deshalb Arbeit an ihr geleistet und sie erhält die potentielle Energie $W_{p o t}$ . Die Coulombkraft ist stärker, je größer die Ladung $q$ ist. An einer großen Ladung wird deshalb mehr Arbeit verrichtet und die potentielle Energie ändert sich stärker als bei einer kleinen Ladung. Die potentielle Energie ist folglich von der Größe der Ladung $q$ abhängig. Um eine allgemeinere Darstellung der Energie für beliebige Ladungsgrößen zu erhalten, wird das elektrische Potential $φ$ eingeführt. Man erhält es, indem die potentielle Energie $W_{p o t}$ durch die Ladung $q$ geteilt wird:

φ = \frac{W_{pot}}{q}

Dabei wird davon ausgegangen, dass sich das elektrische Feld zeitlich nicht verändert (siehe Elektrostatik).

Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt des Raumes ein, bis auf eine Konstante, eindeutiges Potential zu; man spricht daher von einem Potentialfeld. Ein Potentialfeld lässt sich durch senkrecht zu den Feldlinien verlaufende Äquipotentialflächen visualisieren.

Die Differenz der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die elektrische Spannung zwischen diesen Punkten (siehe auch Potential und Spannung).

Im SI-Einheitensystem hat das elektrische Potential die Einheit Volt ( $V$ ) bzw. Watt je Ampere ( $W A^{- 1}$ ) oder Joule je Coulomb ( $J C^{- 1}$ ).

Elektrisches Potential einer Punktladung

Datei:Electric potential varying charge.gif

Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.

Das elektrische Potential einer Punktladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q , auch Coulomb-Potential genannt, ist im SI-Einheitensystem gegeben durch

φ (\vec{r}) = \frac{q}{4 π ε_{0} | \vec{r} |}

Dabei bezeichnet

$q$ die elektrische Ladung
$ε_{0}$ die elektrische Feldkonstante
$\vec{r}$ die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen $ε_{0} = 1$ vereinfacht

φ (\vec{r}) = \frac{q}{4 π | \vec{r} |}

Elektrisches Potential eines statischen elektrischen Feldes

Im Flammensonden-Versuch lässt sich das elektrische Potential als Spannung messen

Statische elektrische Felder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec E sind wirbelfrei, sie können deshalb als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden (siehe Gradientenfeld). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi bezeichnet.

- \vec{\nabla} φ = \vec{E}

Ist das elektrische Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} , ausgehend von einem Nullpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi(\vec r_0) = 0 im Ort ${\vec{r}}_{0}$ , durch ein Kurvenintegral berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi(\vec r) = -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s}

Üblicherweise wird $φ (\infty)$ als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:

φ (\vec{r}) = \int_{\vec{r}}^{\infty} \vec{E} \cdot d \vec{s}

Im Innern eines Leiters ist das elektrische Potential wegen $\vec{E} = 0$ damit konstant.^[1]^[2]

Für eine bekannte Ladungsverteilung $ρ (\vec{r})$ gilt:

φ (\vec{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int d {\vec{r}}^{'} \frac{ρ ({\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |}

Poisson-Gleichung

Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung $ρ$ gilt die Poisson-Gleichung:

Δ φ = - \frac{ρ}{ε_{0}}

Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho = 0 die Laplace-Gleichung

Δ φ = 0

.

$φ$ ist damit eine harmonische Funktion.

Dabei bezeichnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla den Nabla-Operator
$Δ = {\vec{\nabla}}^{2}$ den Laplace-Operator
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon_0 die elektrische Feldkonstante.

Elektrisches Potential eines dynamischen elektrischen Feldes

Dynamische elektrische Felder sind nicht wirbelfrei, und können deshalb nicht als Gradientenfelder dargestellt werden, weil gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \neq 0

Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \times \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right) = 0

Dieses wirbelfreie Vektorfeld $\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ ist mit dem elektrischen Potential $φ$ als Gradientenfeld darstellbar:

- \vec{\nabla} φ = \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort $\vec{r}$ , ausgehend von einem Nullpotential $φ ({\vec{r}}_{0}) = 0$ in einem beliebig gewählten Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec r_0 , durch ein Kurvenintegral bestimmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi(\vec r,t)=-\int_{\vec r_0}^{\vec r} \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{s}

Mit der üblichen Wahl von $φ (\infty)$ als Nullpotential folgt:

φ (\vec{r}, t) = \int_{\vec{r}}^{\infty} (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) \cdot d \vec{s}

Für eine bekannte Ladungsverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec r) mit der Coulomb-Eichung $\vec{\nabla} \vec{A} = 0$ gilt wie in der Elektrostatik:

φ (\vec{r}, t) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int d {\vec{r}}^{'} \frac{ρ ({\vec{r}}^{'}, t)}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |}

Dabei bezeichnet

$\vec{\nabla}$ den Nabla-Operator
$\vec{B}$ die magnetische Flussdichte
$\vec{A}$ das magnetische Vektorpotential

Für stationäre Felder gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \vec A}{\partial t} = 0 und $\frac{\partial φ}{\partial t} = 0$ , sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.^[1]^[2]

Poisson-Gleichung

Mit der Lorenz-Eichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \vec A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} folgt für eine kontinuierliche Ladungsverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho die Poisson-Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \varphi -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Mit der Coulomb-Eichung $\vec{\nabla} \vec{A} = 0$ folgt hingegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Dabei bezeichnet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta = \vec \nabla^2 den Laplace-Operator
$ε_{0}$ die elektrische Feldkonstante
$c$ die Lichtgeschwindigkeit.

Zusammenhang mit der elektrischen Spannung

Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe Eichfreiheit). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort ${\vec{r}}_{0}$ kann deshalb beliebig gewählt werden, eindeutig definiert ist nur seine Differenz zu allen anderen Werten. Wirkliche physikalische Bedeutung haben deshalb nur Potentialdifferenzen:

U = φ ({\vec{r}}_{1}) - φ ({\vec{r}}_{2})

Die Potentialdifferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U wird dabei als elektrische Spannung bezeichnet.

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. 7., korr. und erw. Auflage. Springer-Verlag GmbH, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55789-1.
↑ ^2,0 ^2,1 Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik. 10. Aufl. 2013. Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-642-37905-5.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. 7., korr. und erw. Auflage. Springer-Verlag GmbH, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55789-1.

[:1-2] 2,0 ^2,1 Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik. 10. Aufl. 2013. Berlin, Heidelberg, ISBN 978-3-642-37905-5.

[1]

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-|Formelzeichen=<math>\Phi,\,\phi,\,\varphi,\,V</math>
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 }}
-Das '''elektrische Potential''' oder '''elektrostatische Potential''', auch '''elektrisches bzw. elektrostatisches Potenzial''', <math>\varphi</math> (griechischer Kleinbuchstabe [[Phi]]) ist eine [[physikalische Größe]] in der [[Elektrodynamik|klassischen Elektrodynamik]].
+Das '''elektrische Potential''', auch '''elektrisches Potenzial''', <math>\varphi</math> (griechischer Kleinbuchstabe [[Phi]]) ist eine [[physikalische Größe]] in der [[Elektrodynamik|klassischen Elektrodynamik]]. Das elektrische Potential ist die Fähigkeit eines [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldes]], [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] an einer [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] zu verrichten.
-Das elektrische [[Potential (Physik)|Potential]] ist dabei der [[Quotient]] aus der [[potentielle Energie|potentiellen Energie]] einer Probeladung und dem Wert <math>q</math> dieser [[Elektrische Ladung|Ladung]]:
+Auf eine Probeladung <math>q</math> wirkt in einem elektrischen Feld die [[Coulombkraft]]. Wenn sich die Probeladung durch das elektrische Feld bewegt, wird deshalb Arbeit an ihr geleistet und sie erhält die [[potentielle Energie]] <math>W_{\rm pot}</math>. Die Coulombkraft ist stärker, je größer die Ladung <math>q</math> ist. An einer großen Ladung wird deshalb mehr Arbeit verrichtet und die potentielle Energie ändert sich stärker als bei einer kleinen Ladung. Die potentielle Energie ist folglich von der Größe der Ladung <math>q</math> abhängig. Um eine allgemeinere Darstellung der Energie für beliebige Ladungsgrößen zu erhalten, wird das elektrische Potential <math>\varphi</math> eingeführt. Man erhält es, indem die potentielle Energie <math>W_{\rm pot}</math> durch die Ladung <math>q</math> geteilt wird:
-:<math>\varphi = \frac{E_\mathrm{pot}}{q}</math>
+:<math>\varphi = \frac{W_\mathrm{pot}}{q}</math>
-Dabei wird ein zeitinvariantes, d.&nbsp;h. [[Elektrostatik|statisches]] [[elektrisches Feld]] vorausgesetzt, das jedem Punkt des Raumes ein Potential zuordnet; man spricht daher von einem [[Potentialfeld]]. Die [[Subtraktion|Differenz]] der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die [[elektrische Spannung]] zwischen diesen Punkten (siehe auch [[Elektrostatik #Potential und Spannung|Potential und Spannung]]).
+Dabei wird davon ausgegangen, dass sich das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] zeitlich nicht verändert (siehe [[Elektrostatik]]).
-Das elektrische Potential hat im SI-Einheitensystem die Einheit Volt (<math>\mathrm V</math>) bzw. [[Watt (Einheit)|Watt]] je [[Ampere]] (<math>\mathrm{W}\,\mathrm{A}^{-1}</math>) oder [[Joule]] je [[Coulomb]] (<math>\mathrm{J}\,\mathrm{C}^{-1}</math>).
+Ein gegebenes elektrisches Feld ordnet jedem Punkt des Raumes ein, bis auf eine Konstante, eindeutiges Potential zu; man spricht daher von einem [[Potentialfeld]]. Ein Potentialfeld lässt sich durch senkrecht zu den [[Feldlinie]]n verlaufende [[Äquipotentialfläche]]n visualisieren.
+Die [[Subtraktion|Differenz]] der Potentiale an zwei Punkten bezeichnet man als die [[elektrische Spannung]] zwischen diesen Punkten (siehe auch [[Elektrostatik#Potential und Spannung|Potential und Spannung]]).
+Im [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheitensystem]] hat das elektrische Potential die Einheit Volt (<math>\mathrm V</math>) bzw. [[Watt (Einheit)|Watt]] je [[Ampere]] (<math>\mathrm{W}\,\mathrm{A}^{-1}</math>) oder [[Joule]] je [[Coulomb]] (<math>\mathrm{J}\,\mathrm{C}^{-1}</math>).
 == Elektrisches Potential einer Punktladung ==
-Das elektrische Potential einer [[Punktladung]] <math>q</math>, auch [[Coulombsches_Gesetz #Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] genannt, ist im [[SI-Einheitensystem]] gegeben durch
+[[Datei:Electric potential varying charge.gif|mini|Das elektrische Potential einer Punktladung bei verschieden großer Ladung. Blau ist negative Ladung, rot ist positive.]]
-:<math>\varphi(\vec{x}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \varepsilon_0 \, \left| \vec{x} \right| }</math>
+Das elektrische Potential einer [[Punktladung]] <math>q</math>, auch [[Coulombsches Gesetz#Coulomb-Potential|Coulomb-Potential]] genannt, ist im [[SI-Einheitensystem]] gegeben durch
+:<math>\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \varepsilon_0 \, \left| \vec{r} \right| }</math>
+Dabei bezeichnet
-Dabei bezeichnet
 * <math>q</math> die [[elektrische Ladung]]
 * <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]]
-* <math>\vec{x}</math> die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.
+* <math>\vec{r}</math> die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung.
 Im [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem]] gilt wegen <math>\varepsilon_0 = 1</math> vereinfacht
-:<math>\varphi(\vec{x}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \left| \vec{x} \right| }</math>
-== Elektrisches Potential eines elektrischen Feldes ==
+:<math>\varphi(\vec{r}) = \frac{q}{4 \, \pi \, \left| \vec{r} \right| }</math>
-[[Datei:Plattenkondensator-im-Flammensonden-Versuch.svg|miniatur|Im [[Flammensonde|Flammensonden-Versuch]] lässt sich el. Potential als Spannung messen.]]
-Ist das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] <math>\mathbf{E}</math> bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem [[Ortsvektor]] <math>\mathbf{r}</math>, ausgehend von einem Nullpotential im Ort <math>\vec{r}_0</math>, durch ein [[Kurvenintegral]] berechnen:
+== Elektrisches Potential eines statischen elektrischen Feldes ==
+[[Datei:Plattenkondensator-im-Flammensonden-Versuch.svg|miniatur|Im [[Flammensonde|Flammensonden-Versuch]] lässt sich das elektrische Potential als Spannung messen]]
+Statische [[Elektrisches Feld|elektrische Felder]] <math>\vec E</math> sind [[Wirbelfreies Vektorfeld|wirbelfrei]], sie können deshalb als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines [[Skalarfeld]]es dargestellt werden (siehe [[Gradientenfeld]]). Das negative Skalarfeld wird dabei als elektrisches Potential <math>\varphi</math> bezeichnet.
+:<math>-\vec \nabla \varphi = \vec E</math>
+Ist das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]] <math>\vec{E}</math> bekannt, so lässt sich das Potential am Punkt mit dem [[Ortsvektor]] <math>\vec{r}</math>, ausgehend von einem Nullpotential <math>\varphi(\vec r_0) = 0</math> im Ort <math>\vec{r}_0</math>, durch ein [[Kurvenintegral]] berechnen:
+:<math>\varphi(\vec r) = -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>
+Üblicherweise wird <math>\varphi(\infty)</math> als Nullpotential gewählt. Daraus folgt:
+:<math>\varphi(\vec r) = \int_{\vec r}^{\infty} \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>
+Im Innern eines [[Leiter (Physik)#Elektrischer Leiter|Leiters]] ist das elektrische Potential wegen <math>\vec E = 0</math> damit konstant.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Wolfgang Demtröder |Titel=Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik |Auflage=7., korr. und erw. Auflage |Verlag=Springer-Verlag GmbH |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-55789-1}}</ref><ref name=":1">{{Literatur |Autor= |Titel=Grundkurs Theoretische Physik 3 Elektrodynamik |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=10. Aufl. 2013 |Verlag= |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum= |ISBN=978-3-642-37905-5 |Seiten= |Online= |Abruf=}}</ref>
+Für eine bekannte [[Ladungsdichte|Ladungsverteilung]] <math>\rho(\vec r)</math> gilt:
+:<math>\varphi(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int\mathrm{d} \vec r^\prime \frac{\rho(\vec r^\prime)}{\left| \vec r - \vec r ^\prime \right|}</math>
+=== Poisson-Gleichung ===
+Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung <math>\rho</math> gilt die [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung]]:
-:<math>\varphi = -\int\limits_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\, \vec{E}\,\mathrm{d}\vec{s}</math>
+:<math>\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
-Umgekehrt lässt sich die [[elektrische Feldstärke]] durch den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] des Potentials ausdrücken:
+Speziell für den leeren Raum ergibt sich aus der Poisson-Gleichung mit <math>\rho = 0</math> die [[Laplace-Gleichung]]
-:<math>\Leftrightarrow \vec{E} = - \nabla \varphi\,</math>
+:<math>\Delta\varphi = 0</math>.
-Für eine kontinuierliche [[Ladungsverteilung]] gilt die [[Poisson-Gleichung #Elektrostatik|Poisson-Gleichung]]:
+<math>\varphi</math> ist damit eine [[harmonische Funktion]].
-:<math>\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>.
+Dabei bezeichnet
-Dabei bezeichnet
+* <math>\vec \nabla</math> den [[Nabla-Operator]]
-* <math>\Delta = \nabla^2</math> den [[Laplace-Operator]]
+* <math>\Delta = \vec \nabla^2</math> den [[Laplace-Operator]]
-* <math>\rho</math> die [[Ladungsdichte]]
 * <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]].
-Speziell für den leeren Raum ergibt sich <math>\Delta\varphi = 0</math>. <math>\varphi</math> ist damit eine [[harmonische Funktion]].
+== Elektrisches Potential eines dynamischen elektrischen Feldes ==
+Dynamische elektrische Felder sind nicht [[wirbelfrei]], und können deshalb nicht als [[Gradientenfeld]]er dargestellt werden, weil gilt:
+:<math>\vec \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \neq 0</math>
+Wirbelfrei ist hingegen der Ausdruck:
+:<math>\vec \nabla \times \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right) = 0</math>
+Dieses wirbelfreie [[Vektorfeld]] <math>\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}</math> ist mit dem elektrischen Potential <math>\varphi</math> als Gradientenfeld darstellbar:
+:<math>- \vec \nabla \varphi = \vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t} </math>
+Umgekehrt lässt sich das Potential an einem Ort <math>\vec r</math>, ausgehend von einem Nullpotential <math>\varphi(\vec r_0) = 0</math> in einem beliebig gewählten Ort <math>\vec r_0</math>, durch ein [[Kurvenintegral]] bestimmen:
+:<math>\varphi(\vec r,t)=-\int_{\vec r_0}^{\vec r} \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>
+Mit der üblichen Wahl von <math>\varphi(\infty)</math> als Nullpotential folgt:
+:<math>\varphi(\vec r,t)=\int_{\vec r}^{\infty} \left(\vec E + \frac{\partial \vec A}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\vec{s}</math>
+Für eine bekannte [[Ladungsdichte|Ladungsverteilung]] <math>\rho(\vec r)</math> mit der [[Coulomb-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = 0</math> gilt wie in der Elektrostatik:
+:<math>\varphi(\vec r,t) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int\mathrm{d} \vec r^\prime \frac{\rho(\vec r^\prime,t)}{\left| \vec r - \vec r ^\prime \right|}</math>
+Dabei bezeichnet
+* <math>\vec \nabla</math> den [[Nabla-Operator]]
+* <math>\vec B</math> die [[magnetische Flussdichte]]
+* <math>\vec A</math> das [[Vektorpotential|magnetische Vektorpotential]]
+Für stationäre Felder gilt <math>\frac{\partial \vec A}{\partial t} = 0</math> und <math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>, sodass die dynamischen Gleichungen wieder in die Gleichungen für statische Felder übergehen.<ref name=":0" /><ref name=":1" />
+=== Poisson-Gleichung ===
+Mit der [[Lorenz-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} </math> folgt für eine kontinuierliche [[Ladungsverteilung]] <math>\rho</math> die [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung]]:
+:<math>\Delta \varphi -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
+Mit der [[Coulomb-Eichung]] <math>\vec \nabla \vec A = 0</math> folgt hingegen
+:<math>\Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
+Dabei bezeichnet
+* <math>\Delta = \vec \nabla^2</math>den [[Laplace-Operator]]
+* <math>\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]]
+* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]].
+== Zusammenhang mit der elektrischen Spannung ==
+Das Potential eines elektrischen Feldes ist nicht eindeutig definiert, es kann immer eine beliebige Konstante dazu addiert werden, die von der Wahl des Nullpotentials abhängt (siehe [[Eichfreiheit]]). Der konkrete Wert des Potentials an einem Ort <math>\vec r_0</math> kann deshalb beliebig gewählt werden, eindeutig definiert ist nur seine Differenz zu allen anderen Werten. Wirkliche physikalische Bedeutung haben deshalb nur Potentialdifferenzen:
+:<math>U = \varphi(\vec r_1) - \varphi(\vec r_2)</math>
+Die Potentialdifferenz <math>U</math> wird dabei als [[elektrische Spannung]] bezeichnet.
+== Einzelnachweise ==
+<references />
-Im Innern eines [[Leiter_(Physik) #Elektrischer_Leiter|Leiters]] ist das elektrische Potential konstant.
+{{Normdaten|TYP=s|GND=4128753-8}}
 [[Kategorie:Elektrische Größe]]
 [[Kategorie:Physikalische Größenart]]
 [[Kategorie:Elektrostatik]]